Se A = 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 , B = 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 e C = 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 , verifique que

(a) (AB)C = A(BC)

(b) (A + B) + C = A + (B + C)

(c) A(B + C) = AB + AC

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22

A primeira propriedade que veremos é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B ≠ B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = C

Ou você pode pensar que o termo c i j da matriz C é:

c i j = ∑ k = 1 n a i k x b k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

O item (a) nos pede para calcular A B C e A ( B C ) . Vamos lá??? Primeiro vamos calcular a multiplicação A B :

A B =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 x 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 =

1 x 2 + - 2 x - 2 + 0 x 1 1 x 1 + - 2 x 3 + 0 x 0 1 x - 1 + - 2 x 3 + 0 x 2 3 x 2 + 2 x - 2 + - 1 x 1 3 x 1 + 2 x 3 + - 1 x 0 3 x - 1 + 2 x 3 + - 1 x 2 - 2 x 2 + 0 x - 2 + 3 x 1 - 2 x 1 + 0 x 3 + 3 x 0 - 2 x - 1 + 0 x 3 + 3 x 2 =

6 - 5 - 7 1 9 1 - 1 - 2 8

Multiplicando essa matriz por C :

A B C =

6 - 5 - 7 1 9 1 - 1 - 2 8 x 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 =

6 x 2 + - 5 x 1 + - 7 x 0 6 x 1 + - 5 x 2 + - 7 x 1 6 x 0 + - 5 x 2 + - 7 x ( - 1 ) 1 x 2 + 9 x 1 + 1 x 0 1 x 1 + 9 x 2 + 1 x 1 1 x 0 + 9 x 2 + 1 x ( - 1 ) - 1 x 2 + - 2 x 1 + 8 x 0 - 1 x 1 + - 2 x 2 + 8 x 1 - 1 x 0 + - 2 x 2 + 8 x ( - 1 ) =

A B C = 7 - 11 - 3 11 20 17 - 4 3 - 12

Vamos agora calcular o outro termo da equação. Para isso, vamos primeiro calcular a multiplicação B C :

B C =

2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 x 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 =

2 x 2 + 1 x 1 + - 1 x 0 2 x 1 + 1 x 2 + - 1 x 1 2 x 0 + 1 x 2 + - 1 x ( - 1 ) - 2 x 2 + 3 x 1 + 3 x 0 - 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 1 - 2 x 0 + 3 x 2 + 3 x ( - 1 ) 1 x 2 + 0 x 1 + 2 x 0 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 1 1 x 0 + 0 x 2 + 2 x ( - 1 ) =

5 3 3 - 1 7 3 2 3 - 2

Multiplicando esta matriz por A :

A B C =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 x 5 3 3 - 1 7 3 2 3 - 2 =

1 x 5 + - 2 x - 1 + 0 x 2 1 x 3 + - 2 x 7 + 0 x 3 1 x 3 + - 2 x 3 + 0 x ( - 2 ) 3 x 5 + 2 x - 1 + - 1 x 2 3 x 3 + 2 x 7 + - 1 x 3 3 x 3 + 2 x 3 + - 1 x ( - 2 ) - 2 x 5 + 0 x - 1 + 3 x 2 - 2 x 3 + 0 x 7 + 3 x 3 - 2 x 3 + 0 x 3 + 3 x ( - 2 ) =

A B C = 7 - 11 - 3 11 20 17 - 4 3 - 12 = A B C

Passo 3

Nosso próximo passo será calcular A + B + C = A + ( B + C ) . Vamos então fazer a soma A + B :

A + B =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 + 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 =

1 + 2 - 2 + 1 0 - 1 3 - 2 2 + 3 - 1 + 3 - 2 + 1 0 + 0 3 + 2 =

3 - 1 - 1 1 5 2 - 1 0 5

Somando agora a matriz C :

A + B + C =

3 - 1 - 1 1 5 2 - 1 0 5 + 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 =

3 + 2 - 1 + 1 - 1 + 0 1 + 1 5 + 2 2 + 2 - 1 + 0 0 + 1 5 - 1 =

5 0 - 1 2 7 4 - 1 1 4

Vamos agora calcular o termo A + ( B + C ) . Para isso, vamos começar com a soma ( B + C ) :

B + C =

2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 + 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 =

2 + 2 1 + 1 - 1 + 0 - 2 + 1 3 + 2 3 + 2 1 + 0 0 + 1 2 - 1 =

4 2 - 1 - 1 5 5 1 1 1

Somando agora a matriz A :

A + B + C =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 + 4 2 - 1 - 1 5 5 1 1 1 =

1 + 4 - 2 + 2 0 - 1 3 - 1 2 + 5 - 1 + 5 - 2 + 1 0 + 1 3 + 1 =

A + B + C = 5 0 - 1 2 7 4 - 1 1 4 = A + B + C

Vamos agora ao item (c). Ele nos pede para verificar que A B + C = A B + A C . Vamos começar pelo lado esquerdo. Como já calculamos:

B + C = 4 2 - 1 - 1 5 5 1 1 1

Então:

A B + C =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 x 4 2 - 1 - 1 5 5 1 1 1 =

1 x 4 + - 2 x - 1 + 0 x 1 1 x 2 + - 2 x 5 + 0 x 1 1 x - 1 + - 2 x 5 + 0 x 1 3 x 4 + 2 x - 1 + - 1 x 1 3 x 2 + 2 x 5 + - 1 x 1 3 x - 1 + 2 x 5 + - 1 x 1 - 2 x 4 + 0 x - 1 + 3 x 1 - 2 x 2 + 0 x 5 + 3 x 1 - 2 x - 1 + 0 x 5 + 3 x 1 =

6 - 8 - 11 9 15 6 - 5 - 1 5

Agora, vamos ao termo do lado direito. Já calculamos:

A B = 6 - 5 - 7 1 9 1 - 1 - 2 8

Agora iremos determinar A C :

A C =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 x 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 =

1 x 2 + - 2 x 1 + 0 x 0 1 x 1 + - 2 x 2 + 0 x 1 1 x 0 + - 2 x 2 + 0 x ( - 1 ) 3 x 2 + 2 x 1 + - 1 x 0 3 x 1 + 2 x 2 + - 1 x 1 3 x 0 + 2 x 2 + - 1 x ( - 1 ) - 2 x 2 + 0 x 1 + 3 x 0 - 2 x 1 + 0 x 2 + 3 x 1 - 2 x 0 + 0 x 2 + 3 x ( - 1 ) =

0 - 3 - 4 8 6 5 - 4 1 - 3

Fazendo a soma A B + A C :

A B + A C =

6 - 5 - 7 1 9 1 - 1 - 2 8 + 0 - 3 - 4 8 6 5 - 4 1 - 3 =

6 + 0 - 5 - 3 - 7 - 4 1 + 8 9 + 6 1 + 5 - 1 - 4 - 2 + 1 8 - 3 =

6 - 8 - 11 9 15 6 - 5 - 1 5

Portanto:

A B + C = 6 - 8 - 11 9 15 6 - 5 - 1 5 = A B + A C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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