Enunciado

  1. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em I R 2 .

b)   x , y ∈ I R 2   x + y ≥ 1 }  

Passo 1

Se rearranjarmos a inequação pra fazer com que y = y x , vamos obter:

x + y ≥ 1

y ≥ 1 - x

Portanto, graficamente, podemos desenhar a reta y x = 1 - x e considerar os pontos só acima dela. Afinal, veja que o ponto 5,5 está acima da reta e é uma verdade que:

5 ≥ 1 - 5

5 ≥ - 4

Graficamente então, teríamos:

Como não tem o pontilhado, significa que a própria reta faz parte da solução, e logo o conjunto é fechado.

Resposta

Não é aberto.

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Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. f x , y = 2 x 2 + y ² ²
Seja f: IR² → IR homogênea e suponha que f a , b = 0 para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Mostre que f x , y = 0 para todo x , y ≠ 0,0 .
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 4 3 , 4
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 4 3 , 4
Suponha que o conjunto B ⊆ R 2 não seja aberto. Pode-se concluir que B é fechado? Sim ou não? Justifique.