Enunciado

1. Verifique que a função dada é diferenciável.

a)

f x , y = e x - y 2

Passo 1

É o seguinte, para f ( x , y ) ser diferenciável, basta provarmos que a ela tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas no domínio da função.

f x , y = e x - y 2

Derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = e x - y 2

Opa, então ∂ f ∂ x é continua em todo R 2

Passo 2

Agora vamos ver em relação a y :

∂ f ∂ y = e x - y 2 - y 2 '

Isto é,

∂ f ∂ y = - 2 y e x - y 2

Como ∂ f ∂ y também é contínua em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável em todo R 2 .Portanto, f é diferenciável.

Resposta

Como ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ x são contínuas em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável.

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Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:b) f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )
Dada a função f x , y = 2 x + y - 3 ,s ex = 1o uy = 13 ,s ex ≠ 1ey ≠ 1 a) Calcular ∂ f ∂ x ( 1 ,1 ) .b) Calcular ∂ f ∂ y ( 1 ,1 ) .c) f é diferenciável em (1, 1)?
Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :a) f x , y = 2 x 2 - y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:k) f x , y = x 2 + y 2 + 1 , s ex 2 + y 210 , s ex 2 + y 2 ≥ 1
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:c) z = x y 2 x 2 + y 2