1.

A função

f x , y = x 2 x 2 + y 2 , s e x , y ≠ 0,0 0 , s e x , y = 0,0

é diferenciável na origem?

Resolução
2.

Seja a função

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .
  2. Analise a continuidade da função no ponto ( 0,0 ) .
  3. Analise a diferenciabilidade da função no ponto ( 0,0 ) .
Resolução
3.

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F
Resolução
4.

Dada a função f x , y = x 3 y 2 x 6 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

(a) Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .

(b) A função é contínua na origem? Justifique sua resposta.

(c) A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

Resolução
5.

Considere as seguintes afirmações?

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F
Resolução
6.

Dada a função

f x , y = 2 x + y x + y s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

  1. A função é continua na origem? Justifique sua resposta.
  2. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Resolução
7.

Dada a função

f x , y = x y 2 3 x 2 - y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Calcule o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y , se este limite existir. Justifique sua resposta!
  2. A função é continua na origem? Justifique sua resposta!
  3. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta!
Resolução
8.

Considere a função:

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   s e x , y ≠ 0,0   0 , s e x , y = 0,0  

  1. A função f é contínua em 0,0 ? Justifique!
  2. Calcule as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .
  3. Determine as derivadas parciais δ f δ x x , y e δ f δ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável na origem? Justifique a sua resposta!
Resolução
9.

Mostre que no ponto ( 0,0 ) a função

f x , y = x 3 - y 2 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável.

Resolução
10.

Mostre que no ponto 0,0 a função

f x , y = 2 x y x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Não é contínua, não é diferenciável, porém tem derivadas parciais.

Resolução
12.

Diga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique se forem verdadeiras e dê um contraexemplo para as falsas.

Assuma que f   : R n → R , n ≥ 2 , o domínio D f é aberto e X 0 ∈ D f .

  1. Se f é contínua em X 0 então f é derivável em X 0 .
  2. Se f é contínua em X 0 então f possui as derivadas parciais em X 0 .
  3. Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é contínua em X 0 .
  4. Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0 .
  5. Se f é contínua e possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0 .
  6. Se f é derivável em X 0 então f possui todas as derivadas parciais em X 0 .
  7. Se f é derivável em X 0 então f é contínua em X 0 .
  8. Se f é derivável em X 0 então todas as suas derivadas parciais são contínuas em X 0 .
  9. Se f possui todas as derivadas parciais contínuas em X 0 então f é derivável em X 0 .
  10. Se f não possui uma das derivadas parciais em X 0 então f não é derivável em X 0 .
  11. f possui todas as derivadas parciais continuas em X 0 se, e somente se, f é derivável em X 0
Resolução
13.

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. Calcule ∂ f / ∂ x e   ∂ f / ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.
Resolução
14.

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.
Resolução
15.

Seja

f x , y = x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Considere as afirmativas:

  1. f é contínua em R 2
  2. f é contínua em apenas R 2 - 0,0
  3. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0
  4. f é diferenciável em R 2 - 0,0

Marque a alternativa correta:

  1. Apemas a afirmativa I V é verdadeira
  2. Apenas as afirmativas I e I I I são verdadeiras
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Apenas as afirmativas I I e I I I são verdadeiras
  5. Apenas a afirmativa I I é falsa
Resolução
16.

Seja

f x , y = x y x 2 + y 2   ,   s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

É correto afirmar que:

a 0 ≤ f x , y ≤ y para todo x , y ∈ R 2

b f é contínua na origem

c f é diferenciável na origem

d f x , y → 0 quando x , y → ( 0,0 ) ao longo de qualquer reta que passa pela origem

e f tem derivadas parciais na origem

Resolução
17.

Considere a função

f x , y = x y 2 3 x 2 + y 4

  1. Determine o domínio de f
  2. Suponha que queiramos estender f para todo o R 2 , ou seja, encontrar uma função g   :   R 2 → R que seja igual a f dentro de D (letra a ) mas que fosse definida em todo o R 2 . Seria possível encontrar uma tal g que fosse contínua? Justifique.
  3. Seria possível encontrar uma g que fosse diferenciável? Justifique.
  4. Seria possível encontrar uma tal g que admitisse funções derivadas parciais f x e f y contínuas? Justifique
Resolução
18.

Considere a função

f x , y = x 2 y x 4 + y 2   ,   x , y ≠ 0,0 0   ,   x , y = 0,0

  1. As derivadas parciais de f na origem existem?
  2. A função é contínua na origem?
  3. A função é diferenciável na origem?
Resolução
19.

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2     ,     x , y ≠ ( 0,0 ) 0     ,     x , y = ( 0,0 )

  1. f é contínua em ( 0,0 ) ? Justifique.
  2. Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .
  3. Há plano tangente a z = f ( x , y ) em ( 0,0 , 0 ) ? Justifique.
Resolução
20.

Considere a função:

h x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ ( 0,0 ) 0 , x , y = ( 0,0 )  

Considere as alternativas:

  1. ∂ h ∂ y 0,0 = lim t → 0 ⁡ h 0 , t - h 0,0 t = 0
  2. A função h x , y é continua em todos os pontos do seu domínio.
  3. A função h x , y é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Julgue as alternativas como verdadeiro (V) ou falso (F), na ordem:

  1. (I)V, (II)V, (III)V
  2. (I)F, (II)F, (III)F
  3. (I)V, (II)F, (III)V
  4. (I)V, (II)V, (III)F
  5. (I)V, (II)F, (III)F
Resolução
21.

Seja

f x , y = x 2 - x y x 2 + y 2           ,       x , y ≠ 0,0 0           ,           x , y = ( 0,0 )

1. f é contínua em ( 0,0 ) ? E em ( 1,1 ) ? Justifique.

2. Calcule, se existir, f x 0,0 e f y 0,0 .

Resolução
22.
  1. Seja f x , y = x y - π . Analise a diferenciabilidade de f nos pontos P 1 = 3,0 e P 2 = - 2,4 .
Resolução

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