Lista de Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade
Seja a função
- Mostre que o ao longo de qualquer reta .
- Analise a continuidade da função no ponto .
- Analise a diferenciabilidade da função no ponto .
Considere as seguintes afirmações:
- Se é continua no ponto então é diferenciável no ponto
- Se é diferenciável no ponto então é continua no ponto
- Se e existem no ponto então é diferenciável no ponto
Dada a função
(a) Mostre que o ao longo de qualquer reta .
(b) A função é contínua na origem? Justifique sua resposta.
(c) A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Ver solução completaDada a função
- A função é continua na origem? Justifique sua resposta.
- A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Considere as seguintes afirmações?
- Se é continua no ponto então é diferenciável no ponto
- Se é diferenciável no ponto então é continua no ponto
- Se e existem no ponto então é diferenciável no ponto
Considere a função:
- A função é contínua em ? Justifique!
- Calcule as derivadas parciais e .
- Determine as derivadas parciais e para .
- é diferenciável na origem? Justifique a sua resposta!
Mostre que no ponto a função
Não é contínua, não é diferenciável, porém tem derivadas parciais.
Ver solução completaDiga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique se forem verdadeiras e dê um contraexemplo para as falsas.
Assuma que , , o domínio é aberto e .
- Se é contínua em então é derivável em
- Se é contínua em então possui as derivadas parciais em
- Se possui todas as derivadas parciais em então é contínua em
- Se possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
- Se é contínua e possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
- Se é derivável em então possui todas as derivadas parciais em
- Se é derivável em então é contínua em
- Se é derivável em então todas as suas derivadas parciais são contínuas em
- Se possui todas as derivadas parciais contínuas em então é derivável em
- Se não possui uma das derivadas parciais em então não é derivável em
- possui todas as derivadas parciais continuas em se, e somente se, é derivável em
Mostre que no ponto a função
Não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável.
Ver solução completaSeja
Considere as afirmativas:
- é contínua em
- é contínua em apenas
- é diferenciável em
Marque a alternativa correta:
- Apemas a afirmativa é verdadeira
- Apenas as afirmativas e são verdadeiras
- Todas as afirmativas são falsas
- Apenas as afirmativas e são verdadeiras
- Apenas a afirmativa é falsa
Seja
É correto afirmar que:
para todo
é contínua na origem
é diferenciável na origem
quando ao longo de qualquer reta que passa pela origem
tem derivadas parciais na origem
Ver solução completaConsidere a função
- As derivadas parciais de na origem existem?
- A função é contínua na origem?
- A função é diferenciável na origem?
Considere a função
- é contínua em ? Justifique.
- Calcule e .
- Há plano tangente a em ? Justifique.
Considere a função:
Considere as alternativas:
- A função é continua em todos os pontos do seu domínio.
- A função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Julgue as alternativas como verdadeiro (V) ou falso (F), na ordem:
- (I)V, (II)V, (III)V
- (I)F, (II)F, (III)F
- (I)V, (II)F, (III)V
- (I)V, (II)V, (III)F
- (I)V, (II)F, (III)F
- Seja . Analise a diferenciabilidade de nos pontos e .
Ver solução completaDada a função
- Calcule o , se este limite existir. Justifique sua resposta!
- A função é continua na origem? Justifique sua resposta!
- A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta!
Considere a função
- Determine o domínio de
- Suponha que queiramos estender para todo o , ou seja, encontrar uma função que seja igual a dentro de (letra mas que fosse definida em todo o . Seria possível encontrar uma tal que fosse contínua? Justifique.
- Seria possível encontrar uma que fosse diferenciável? Justifique.
- Seria possível encontrar uma tal que admitisse funções derivadas parciais e contínuas? Justifique
Considere a função
- A função é contínua em Justifique sua resposta.
- Calcule as derivadas parciais e
- Determine e para .
- é diferenciável em ? Justifique sua resposta.