Enunciado

Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = x 2 s e n   y   i ^ + x cos ⁡ y   j ^ - x z   s e n   y   k ^ , S é a “Esfera gorda” x 8 + y 8 + z 8 = 8

Passo 1

Vamos antes de mais nada relembrar o Teorema do Divergente.

Seja F → um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E . Então

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F →   d V

Onde

∇ ⋅ F → ≡ ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Passo 2

Pelo Teorema do Divergente, Vamos analisar quem é F → e suas derivadas.

∂ F x ∂ x = 2 x   s e n   y

∂ F y ∂ y =   - x   s e n   y

∂ F z ∂ z =   - x   s e n   y

Funções contínuas mesmo olhando para o conjunto E que é definido pelo Volume de nossa “esfera gorda”. Entenda aqui que o termo entre aspas “gorda” não se trata de um termo pejorativo, mas a uma comparação a equação da esfera.

Voltando para nossas derivadas, temos que o Teorema do Divergente pode ser aplicado aqui.

Passo 3

Olhando para as derivadas calculadas no passo anterior, temos que

∇ ⋅ F → = 0

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∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F →   d V = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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