Enunciado

Um fluido escoa em movimento uniforme no domínio D = { x , y 0 ≤ y ≤ 8 } . Se a velocidade em cada ponto é dado por v → = y + 1 i → , verificar que todas as partículas se deslocam em linha reta e que v → representa um possível fluido incompressível.

Passo 1

Queremos identificar se o fluido é incompressível, ou compressível, para isso precisamos calcular div ⁡ v → . Isso é porque, pela equação da continuidade

div ⁡ u → + ∂ ρ ∂ t = 0

∂ ρ ∂ t = - div ⁡ u →

o fluido será incompressível se div ⁡ u → = 0 .

Passo 2

Queremos encontrar div ⁡ v → , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ v 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em v → temos:

div ⁡ v → = ∂ ∂ x y + 1 + ∂ ∂ y 0 + ∂ ∂ z 0

div ⁡ v → = 0 - 0 + 0

div ⁡ v → = 0

Temos então que o fluido é incompressível.

Passo 3

Para verificar que todas as partículas se deslocam em linha reta, podemos analisar a representação gráfica do campo vetorial v → na figura abaixo.

Podemos aqui concluir, que todas as partículas se deslocam em linha reta.

Resposta

Fluido incompressível.

div ⁡ v → = 0

Todas as partículas se deslocam em linha reta.

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