Enunciado

  1. Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado [ 0,1 ] × [ 0,1 ] .
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

Vamos inicialmente tomar quatro quadrados, formando um único quadrado. Desta forma podemos dizer que o ponto médio de cada um desses quadrados será ( 1 4 , 1 4 ) , ( 1 4 , 3 4 ) , ( 3 4 , 1 4 ) e ( 3 4 , 3 4 ) .

Por fim, nesse passo, vamos lembrar da seção 15.1 a regra do ponto médio

∬ R f x , y   d A ≈ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x ¯ , y ¯   Δ A

Na qual x ¯   e   y ¯ são nos pontos médios.

Passo 2

Queremos calcular a área de nossa superfície. Para isso temos que

A D = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A = ∬ D 4 x 2 + 4 y 2 + 1   d A

Onde aplicando a regra do ponto médio, temos

≈ 1 4 4 1 4 2 + 4 1 4 2 + 1 + 4 1 4 2 + 4 3 4 2 + 1 + 4 3 4 2 + 4 1 4 2 + 1 + 4 3 4 2 + 4 3 4 2 + 1

Logo temos

= 1 4 3 2 + 2 7 2 + 11 2 ≈ 1.8279

Passo 3

Com a utilização de um sistema de computação algébrica, temos que

A D = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 + 4 y 2   d x   d y ≈ 1.816

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.
Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1 .
Determine a área da superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .