Enunciado

Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.

P x , y = x 3 y 4 ,     Q x , y = x 5 y 4

C consiste de um segmento de reta de - π 2 , 0 para π 2 , 0 seguido do arco de curva y = cos ⁡ x de π 2 , 0 para - π 2 , 0

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular pela integral de linha. Para facilitar a nossa vida, vamos quebrar em dois trechos: C 1   e   C 2 .

Para o trecho C 1 , precisamos antes de tudo parametrizá-la. Aqui temos um x variando e y constante (e igual a zero). Assim,

x = t ,     y = 0 ,     - π 2 ≤ t ≤ π 2

Assim,

∫ P d x + Q d y = ∫ x 3 y 4 d x + x 5 y 4 d y

Substituindo x = t , d x = d t e y = 0 , d y = 0 :

∫ P d x + Q d y = ∫ - π 2 π 2 t 3 0 4 d t + t 5 0 4 0

∫ P d x + Q d y = 0

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda curva C 2 . Parametrizando a curva é:

x = t ,     y = cos ⁡ t ,     - π 2 ≤ t ≤ π 2

Assim,

∫ P d x + Q d y = ∫ x 3 y 4 d x + x 5 y 4 d y

Substituindo x = t , d x = d t e y = cos ⁡ t , d y = - sen ⁡ t   d t :

∫ P d x + Q d y = ∫ - π 2 π 2 t 3 cos 4 ⁡ t d t + t 5 cos 4 ⁡ t - sen ⁡ t   d t

∫ P d x + Q d y = ∫ - π 2 π 2 t 3 - t 5 sen ⁡ t cos 4 ⁡ t d t

Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:

∫ P d x + Q d y = ∫ - π 2 π 2 t 3 - t 5 sen ⁡ t cos 4 ⁡ t d t = π 4 15 - 4144 π 2 1125 + 7578368 253125 ≈ 0,0779349

Por fim,

∫ C P d x + Q d y = ∫ C 1 P d x + Q d y + ∫ C 2 P d x + Q d y = 0 + 0,0779349 = 0,0779349

Passo 4

Agora, vamos olhar para a integral dupla!

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Precisamos calcular essas derivadas parciais aí de cima. Isso é moleza!

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 5 y 4 = 5 x 4 y 4

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y 4 = 4 x 2 y 3

Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x 5 x 4 y 4 - 4 x 3 y 3 d y d x

Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x 5 x 4 y 4 - 4 x 3 y 3 d y d x = π 4 15 - 4144 π 2 1125 + 7578368 253125 ≈ 0,0779349

Depois de muita conta, verificamos o Teorema de Green!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.d. ∮ C x - 1 e y d x + e y ln ⁡ x + 2 x d y C é a região limitada por x = y 4 + 1 x = 2
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.f. ∮ C x + y d x + y - x d y C é a circunferência x 2 + y 2 - 2 a x = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.h. ∮ C 2 x - y d x + x + 3 y d y C é a fronteira do pentágono de vértices 0,0 , 0,2 , 1,3 , 2,2 , 2,0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.g. ∮ C 2 x - y 3 d x + - x y d y C é a fronteira da região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 = 9
a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha á r e aD = ∮ ∂ D xd y á