Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 15
Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
consiste de um segmento de reta de para seguido do arco de curva de para
Passo 1
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular pela integral de linha. Para facilitar a nossa vida, vamos quebrar em dois trechos: .
Para o trecho , precisamos antes de tudo parametrizá-la. Aqui temos um variando e constante (e igual a zero). Assim,
Assim,
Substituindo , e , :
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda curva . Parametrizando a curva é:
Assim,
Substituindo , e , :
Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:
Por fim,
Passo 4
Agora, vamos olhar para a integral dupla!
Precisamos calcular essas derivadas parciais aí de cima. Isso é moleza!
Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:
Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:
Depois de muita conta, verificamos o Teorema de Green!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)