Enunciado

Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.

P x , y = 2 x - x 3 y 5 ,     Q x , y = x 3 y 8

C é uma elipse 4 x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

A curva dada para a gente foi uma elipse que obedece a equação 4 x 2 + y 2 = 4 . Podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

C : x 2 + y 2 2 = 1

Podemos parametrizar agora!

x = cos ⁡ θ ,     y = 2 sen ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim,

∫ P d x + Q d y = ∫ 2 x - x 3 y 5 d x + x 3 y 8 d y

Substituindo x = c o s θ , d x = - s e n θ d θ e y = 2 s e n θ , d y = 2 c o s θ d θ :

∫ P d x + Q d y = ∫ 0 2 π ( 2 c o s θ - c o s θ 3 2 s e n θ 5 - s e n θ d θ + c o s θ 3 2 s e n θ 8 ( 2 c o s θ d θ )

∫ P d x + Q d y = ∫ 0 2 π 2 c o s θ s e n θ ( 16 cos 2 ⁡ θ s e n 4 θ + 256 cos 3 ⁡ θ s e n 7 θ - 1 ) d θ

Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:

∫ P d x + Q d y = ∫ 0 2 π 2 c o s θ s e n θ ( 16 cos 2 ⁡ θ s e n 4 θ + 256 cos 3 ⁡ θ s e n 7 θ - 1 ) d θ = 7 π

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral dupla!

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Precisamos calcular essas derivadas parciais aí de cima. Isso é moleza!

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y 8 = 3 x 2 y 8

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y 2 x - x 3 y 5 = - 5 x 3 y 4

Os limites de integração podem sem encontrados a partir da equação da curva C .

4 x 2 + y 2 = 4

y 2 = 4 - 4 x 2 = 4 ( 1 - x 2 )

y = ± 4 1 - x 2 = ± 2 1 - x 2

Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:

∫ 1 1 ∫ - 2 1 - x 2 2 1 - x 2 3 x 2 y 8 + 5 x 3 y 4 d y d x

Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:

∫ 1 1 ∫ - 2 1 - x 2 2 1 - x 2 3 x 2 y 8 + 5 x 3 y 4 d y d x = 7 π

Depois de muita conta, verificamos o Teorema de Green!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine ∮ C x 2 + y + 2 x y 3 d x + 5 x + 3 x 2 y 2 + yd y onde C é a reunião das curvas C 1 ,C 2 e C 3 dadas por C 1 : x 2 + y 2 = 1 ,y ≥ 0 ; C 2 : x + y + 1 = 0 , - 1 ≤ x ≤ 0 ; C 3 : x - y - 1 = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.a. ∮ C y 2 d x + x 2 d y C é a fronteira do quadrado D = - 1,1 × - 1,1
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.b. ∮ C 3 x 2 + y d x + 4 y 2 d y C é a fronteira do triangulo de vértices. 0,0 , 1,0 , 0,2
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.c. ∮ C e x - 3 y d x + e y - 6 x d y C é a elipse de equação x 2 + 4 y 2 = 1
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.e. ∮ C 2 x y - x 2 d x + x - y 2 d y C é a fronteira da região limitada por y = x 2 y 2 = x