Enunciado

Os vértices opostos de um quadrado estão em 3 ,   - 4 e 9 ,   - 4 . Ache os outros dois vértices.

Passo 1

Para isso, precisamos lembrar que a diagonal do quadrado mede 2 vezes o lado, que o centro do quadrado divide as duas diagonais ao meio e que o ponto médio de um segmento de reta com extremidades a ,   b e c ,   d é dado por

m ,   n = a ,   b + c ,   d 2

Passo 2

Como temos dois vértices opostos, podemos calcular qual é o centro do quadrado:

x c ,   y c = 3 ,   - 4 + 9 ,   - 4 2 = 3 + 9 2 , - 4 - 4 2 = 6 ,   - 4

Passo 3

Como as diagonais do quadrado são perpendiculares e os vértices opostos dados possuem a mesma ordenada, os vértices opostos que queremos encontrar possuem a mesma abcsissa entre si e com o centro, ou seja, estão sobre a reta verde abaixo:

Passo 4

Pelos passos anteriores, podemos facilmente notar que a distância do centro para os dois vértices dados é igual a três unidades e, como as diagonais de um quadrado são iguais, os vértices buscados estão à mesma distância do centro. E como já sabemos a abscissa dos dois vértices, temos que eles são 6 ,   - 4 + 3 = 6 ,   - 1 e 6 ,   - 4 - 3 = 6 ,   - 7 .

Resposta

6 ,   - 1   e   6 ,   - 7

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Imponha condições sobre a e b para que exista um quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados com vértices na hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 , e calcule sua área.
Seja F o foco da parábola P : y 2 = 4 p x . Localize os pontos Q do eixo da parábola para os quais todos os pontos de P veem o segmento F Q sob ângulo agudo.
Sejam F 1 e F 2 os focos da elipse E : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 , e r 1 e r 2 as respectivas diretrizes associadas. Seja E ' a elipse definida como na Observação 22-37, tomando-se e = c / a , F = F 1
Sejam A e B , respectivamente, extremidades dos eixos maior e menor de uma elipse de centro O , F um dos focos e C um ponto da elipse tal que C F é perpendicular ao eixo maior. Supondo que O C → = k A
Calcule a excentricidade de uma elipse, sabendo que as extremidades das cordas que contêm algum foco e são perpendiculares ao eixo maior são vértices de um quadrado inscrito na elipse.