Enunciado

Se o wronskiano W de f e g é 3 e^(4 t) e se f (t) = e^(2 t) , encontre g ( t ) .

Passo 1

As informações que temos é o wronskiano e a função f , podemos usar elas duas para escrevermos uma equação diferencial de g ( t ) . Começamos pela definição do wronskiano e do valor dado pelo enunciado:

W (f , g) = d e t [[[f,g],[f,',g,']]] = 3 e^(4 t)

Calculamos o determinante:

W (f , g) = f g^' - g f^' = 3 e^(4 t)

E substituímos f (t) e sua derivada:

e^(2 t) g^' - 2 g e^(2 t) = 3 e^(4 t)

Passo 2

Como a equação não está na forma padrão, vamos dividir tudo por e^(2 t) :

g^' - 2 g = 3 e^(2 t)

Podemos ver que é uma equação diferencial não homogênea, vamos resolver primeiro a homogênea:

g^' - 2 g = 0

Dá para perceber que a função exponencial é uma solução possível para o problema, para fazermos aparecer o 2, basta colocarmos ele no expoente da exponencial, que ai quando derivarmos ele vai cair:

g (t) = c_1 e^(2 t)

A constante c_1 é arbitraria, e aparece por conta do grau de liberdade da equação, repare que qualquer valor que colocarmos nela, vai continuar satisfazendo a equação.

Passo 3

A não homogênea nesse caso é mais fácil, basta somarmos o termo do lado direito dela na nossa solução:

g (t) = c_1 e^(2 t) + 3 e^(2 t)

Dessa maneira ela já satisfaz a equação e vai ser a nossa g ( t ) .

Resposta

g (t) = c_1 e^(2 t) + 3 e^(2 t)

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