Fórmula de Bhaskara e Método da Soma e Produto

Teoria Completa

Uma das coisas mais importante nas funções do 2º Grau é encontrarmos as raízes da função.

Vimos na função do 1º grau que para achar a raiz da função bastava igualar a equação a zero e isolar o x .

3 x 2 + 2 x + 5 = 0

Mas como isolar o x em uma equação como essa??

Perceba que o termo x 2 complica nossa vida e impede que encontremos o valor de x de maneira fácil.

Mas então, será que não existe nenhum método de encontrar esses valores para x ?

RELAXAAAAA!!!

É claro que existe, é conhecido como Fórmula de Bhaskara.

Definição

Relembrando:

A função do 2º grau é dada por

f x = a x 2 + b x + c

A fórmula de Bhaskara é dividida em duas partes.

Parte 1

Primeiramente, precisamos encontrar o delta.

QUE?? DE ONDE SURGIU ISSO??

Sem stress, é molezinha, dá uma olhada.

∆ = b 2 - 4 ∙ a ∙ c

Parte 2

Beleza, achei o delta, e agora?

Agora está na hora de encontramos os valores de x , e também existe uma fórmula pra isso:

x = - b ± ∆ 2 ∙ a

É comum encontramos essas duas fórmulas em uma só, ficando algo como:

x = - b ± b 2 - 4 ∙ a ∙ c 2 ∙ a

Aplicação

Bora ver como isso funciona na prática

Encontre os valores de x na equação x 2 + 5 x + 4 = 0

Temos que:

a = 1 .

b = 5 .

c = 4 .

Precisamos agora encontrar o valor de .

∆ = ( 5 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 4

∆ = 25 - 16

∆ = 9

Já achamos que ∆ = 9 , agora é só achar os valores de x .

x = - ( 5 ) ± 9 2 ∙ 1

x = - 5 ± 3 2

Vamos precisar dividir em dois casos agora, para + 3 e para - 3 .

x ' = - 5 + 3 2 = - 2 2 = - 1

x ' ' = - 5 - 3 2 = - 8 2 = - 4

Pronto, achamos que os valores de x são - 1 e - 4 .

Quer conferir? É só substituir esses valores na equação...

Possíveis Deltas

Existem três casos para deltas...

1º Caso

∆ > 0 .

Nesses casos, a equação possuirá duas raízes.

Graficamente, interpretamos assim:

2º Caso

∆ = 0 .

Nesses casos, a equação possuirá apenas uma raiz.

Graficamente, interpretamos assim:

3º Caso

∆ < 0 .

Nesses casos, a equação não possuirá raiz real.

Graficamente, podemos interpretar como:

Método Soma e Produto

Esse método é um daqueles que salva nossa vida e nos traz muita agilidade na hora de calcularmos.

Como o próprio nome diz, esse método faz a relação entre soma e multiplicação entre as raízes.

Temos que:

x ' + x ' ' = - b a

x ' ∙ x ' ' = c a

Sendo a e b , valores dos coeficientes obtidos na equação.

Com esse monte de letras parece ser complicado, mas com um exemplo prático, você vai ver como é fácil...

Aplicando

Vamos encontrar as raízes da equação x 2 - 7 x + 12 .

Nesse caso, temos:

a = 1 .

b = - 7 .

c = 12 .

Vamos primeiro jogar esses valores na fórmula da multiplicação

x ' ∙ x ' ' = c a

x ' ∙ x ' ' = 12 1

Temos que x ' ∙ x ' ' = 12 , agora precisamos pensar quais valores x ' e x ' ' poderiam assumir para que multiplicados dessem 12 .

1 ∙ 12 = 12

2 ∙ 6 = 12

3 ∙ 4 = 12

Guarde esses números, eles serão importantes no final.

Agora usaremos a fórmula da soma.

x ' + x ' ' = - b a

x ' + x ' ' = - ( - 7 ) 1

OLHA O SINAL!!!

x ' + x ' ' = 7 1

Do mesmo jeito que fizemos antes, precisamos pensar em dois valores para x ' e x ' ' que somados dão 7 .

6 + 1 = 7

5 + 2 = 7

3 + 4 = 7

Temos que 3 + 4 = 7 e 3 ∙ 4 = 12 , logo pelo método da soma e produto, as raízes dessa equação são x = 3 e x = 4 .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara:

  1. y = x 2 + x - 2
  2. y = x 2 + 2 x - 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que a fórmula de Bhaskara é: - b ± ∆ 2 a

Onde ∆ = b 2 - 4 a c

  1. y = x 2 + x - 2
  2. Nossos coeficientes:

    a = 1

    b = 1

    c = - 2

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = 1 2 - 4 1 - 2

    ∆ = 1 + 8 = 9

    Agora descobrindo as raízes:

    - b ± ∆ 2 a

    - 1 ± 9 2 ( 1 ) = - 1 ± 3 2

    Agora vamos abrir a soma (primeira raiz) e depois a subtração (segunda raiz)

    x ' = - 1 + 3 2 = 2 2 = 1

    x " =     - 1 - 3 2 = - 4 2 = - 2

    Passo 2

  3. y = x 2 + 2 x - 3

Nossos coeficientes:

a = 1

b = 2

c = - 3

Vamos descobrir o valor de delta:

∆ = 2 2 - 4 ( 1 ) ( - 3 )

∆ = 4 + 12

∆ = 16

Agora descobrindo as raízes:

- b ± ∆ 2 a

- 2 ± 16 2 ( 1 ) = - 2 ± 4 2

Agora vamos abrir a soma (primeira raiz) e depois a subtração (segunda raiz)

x ' = - 2 + 4 2 = 2 2 = 1

x " =     - 2 - 4 2 = - 6 2 = - 3

Resposta

  1. x ' = 1   e x " =   - 2
  2. x ' = 1   e x " =   - 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara:

  1. y = - 2 x 2 + 8 x - 8
  2. y = - x 2 + 6 x - 9
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que a fórmula de Bhaskara é: - b ± ∆ 2 a

Onde ∆ = b 2 - 4 a c

  1. y = - 2 x 2 + 8 x - 8
  2. Nossos coeficientes:

    a = - 2

    b = 8

    c = - 8

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = 8 2 - 4 - 2 - 8

    ∆ = 64 - 64 = 0

    Como ∆ = 0 só vai existir uma única raiz: - b ± ∆ 2 a

    x ' = x " = - 8 ± 0 2 ( - 2 ) = - 8 - 4 = 2

    Passo 2

  3. y = - x 2 + 6 x - 9

Nossos coeficientes:

a = - 1

b = 6

c = - 9

Vamos descobrir o valor de delta:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 6 2 - 4 - 1 - 9

∆ = 36 - 36 = 0

Novamente, temos ∆ = 0 só vai existir uma única raiz: - b ± ∆ 2 a

x ' = x " = - 6 ± 0 2 ( - 1 ) = - 6 - 2 = 3

Resposta

  1. x ' = x " = 2
  2. x ' = x " = 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Encontre as raízes das funções abaixo por meio de Bhaskara:

  1. y = 3 x 2 + 2 x + 1
  2. y = x 2 + 2 x + 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que a fórmula de Bhaskara é: - b ± ∆ 2 a

Onde ∆ = b 2 - 4 a c

  1. y = 3 x 2 + 2 x + 1
  2. Nossos coeficientes:

    a = 3

    b = 2

    c = 1

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = 2 2 - 4 3 ( 1 )

    ∆ = 4 - 12

    ∆ = - 8

    Quando temos ∆ < 0 , não temos raízes.

    Passo 2

  3. y = x 2 + 2 x + 3

Nossos coeficientes:

a = 1

b = 2

c = 3

Vamos descobrir o valor de delta:

∆ = 2 2 - 4 1 ( 3 )

∆ = 4 - 12

∆ = - 8

Quando temos ∆ < 0 , não temos raizes.

Resposta

  1. Não temos raízes reais
  2. Não temos raízes reais

Exercício Resolvido #4

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática – 9 ano. São Paulo, SP:Atica,2009 pp.107 (adaptado)

Sem fazer gráfico, registre se a parábola cruza o eixo x em um único ponto, em dois pontos ou se não cruza o eixo x

  1. y = - 2 x 2 + 8 x - 8
  2. y = 2 x 2 - 1
  3. y = x 2 + 1
  4. y = - 3 x 2 + 5 x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício o que vai nos ajudar é o delta, se temos:

∆   > 0 o eixo x é cortado em dois pontos

∆   = 0 o eixo x é cortado em uns pontos

∆   < 0 não cruza o eixo x

  1. y = - 2 x 2 + 8 x - 8
  2. Nossos coeficientes:

    a = - 2

    b = 8

    c = - 8

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = 8 2 - 4 - 2 - 8

    ∆ = 64 - 64 = 0

    Como ∆   = 0 o eixo x é cortado em um único ponto.

  3. y = 2 x 2 - 1
  4. Nossos coeficientes:

    a = 2

    b = 0

    c = - 1

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = 0 2 - 4 2 - 1

    ∆ = 0 + 8 = 8

    Como, ∆   > 0 o eixo x é cortado em dois pontos.

    Passo 2

  5. y = x 2 + 1
  6. Nossos coeficientes:

    a = 1

    b = 0

    c = 1

    Vamos descobrir o valor de delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = 0 2 - 4 1 1

    ∆ = 0 - 4 = - 4

    Como ,   ∆   < 0 não cruza o eixo x.

  7. y = - 3 x 2 + 5 x

Nossos coeficientes:

a = - 3

b = 5

c = 0

Vamos descobrir o valor de delta:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 5 2 - 4 - 3 0

∆ = 25 + 0 = 25

Como, ∆   > 0 o eixo x é cortado em dois pontos.

Resposta

  1. Um ponto
  2. Dois pontos
  3. Não cruza
  4. Dois pontos

Exercício Resolvido #5

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática -9°ano.  São Paulo, SP: Ática, 2009. pp.107

Determine os pontos se existirem, nos quais a parábola intersecta os eixos y e x:

  1. y = x 2 - 4 x + 4
  2. y = x 2 + 2 x - 3
  3. y = x 2 - 6 x + 9
  4. y = x 2 - 4
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que para intersectar o eixo y, precisamos que x = 0 e para intersectar o eixo x precisamos de y = 0 . Assim, vamos analisar cada função.

  1. y = x 2 - 4 x + 4
  2. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) + 4

    y = 4

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0,4 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 - 4 x + 4 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1

    b = - 4

    c = 4

    O nosso delta é encontrado da seguinte forma:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 4 )

    ∆ = 16 - 16 = 0

    Existe apenas uma raiz:

    x ' = x " = - b ± ∆ 2 a = - b ± 0 2 a = - b 2 a

    x ' = x " = - ( - 4 ) 2 ( 1 ) = 2

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 2 , 0 )

    Passo 2

  3. y = x 2 + 2 x - 3
  4. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 + 2 0 - 3

    y = - 3

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0   3 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 + 2 x - 3 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1 .

    b = 2

    c = - 3

    Calculando o delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 3 )

    ∆ = 4 + 12 = 16

    Existem apenas duas raízes:

    x ' = - b + ∆ 2 a

    x ' = - 2 + 16 2 ( 1 ) = - 2 + 4 2 = 2 2 = 1

    A segunda raiz:

    x ' ' = - b - ∆ 2 a

    x ' ' = - 2 - 16 2 1 = - 2 - 4 2 = - 6 2 = - 3

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 1 , 0 ) e ( - 3,0 )

    Passo 3

  5. y = x 2 - 6 x + 9
  6. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 - 6 ( 0 ) + 9

    y = 9

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0 , 9 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 - 6 x + 9 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1 .

    b = - 6

    c = 9

    O nosso delta é encontrado da seguinte forma:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( - 6 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 9 )

    ∆ = 36 - 3 6 = 0

    Existe apenas uma raiz:

    x ' = x " = - b ± ∆ 2 a = - b ± 0 2 a = - b 2 a

    x ' = x " = - ( - 6 ) 2 ( 1 ) = 3

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 3 , 0 )

    Passo 4

  7. y = x 2 - 4

Eixo y:

Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

y = ( 0 ) 2 - 4

y = - 4

Assim a função intercepta o eixo y em ( 0   4 )

Eixo x:

Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

x 2 - 4 = 0

Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1

b = 0

c = - 4

Calculando o delta:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = ( 0 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 4 )

∆ = 0 + 1 6 = 16

Existem apenas duas raízes:

x ' = - b + ∆ 2 a

x ' = 0 + 16 2 ( 1 ) = 0 + 4 2 = 4 2 = 2

A segunda raiz:

x ' ' = - b - ∆ 2 a

x ' ' = 0 - 16 2 1 = 0 - 4 2 = - 4 2 = - 2

Assim a função intercepta o eixo x em ( 2 , 0 ) e ( - 2 , 0 )

Resposta

  1. Eixo y: ( 0,4 )
  2. Eixo x:   ( 2,0 )

  3. Eixo y: ( 0 ,   - 3 )
  4. Eixo x:   ( - 3 , 0 ) e 1,0

  5. Eixo y: ( 0 , 9 )
  6. Eixo x:   ( 3 , 0 )

  7. Eixo y: ( 0 ,   - 4 )

Eixo x:   ( 2,0 ) e ( - 2,0 )

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Pelo método soma e produto, encontre as raízes: f x = x 2 - 6 x + 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Os nossos coeficientes são:

a = 1

b = - 6

c = 5

Usando a regrinha da multiplicação:

x ' ∙ x ' ' = c a

x ' ∙ x ' ' = 5 1 = 5

Ou seja, descobrimos que se multiplicamos nossas duas raízes, temos o valor de 5 .

Agora, vamos pensar em que números multiplicados satisfazem essa equação:

5 × 1 = 5

2,5 × 2 = 5

( - 5 ) × - 1 = 5

Passo 2

Agora, vamos usar a fórmula da soma:

x ' + x ' ' = - b a

x ' + x ' ' = - - 6 1 = 6  

Assim, sabemos que as raízes somadas resultam 6 , vamos pegar os valores que multiplicamos antes e ver em qual deles a soma dá · .

5 + 1 = 6

2,5 + 2 = 4,5

- 5 + - 1 = - 6

Assim temos que as raízes é o que satisfez tanto a soma como produto:

Produto x ' ∙ x ' ' = 5 :

5 × 1 = 5

Soma:   x ' + x ' ' = 6

5 + 1 = 6

Assim, x ' = 5 e x ' ' = 1

Resposta

x ' = 5

  x ' ' = 1

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Pelo método soma e produto, encontre as raízes: f x = 3 x 2 - 8 x - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Os nossos coeficientes são:

a = 3

b = - 8

c = - 3

Usando a regrinha da multiplicação:

x ' ∙ x ' ' = c a

x ' ∙ x ' ' = - 3 3 = - 1

Ou seja, descobrimos que se multiplicamos nossas duas raízes, temos o valor de - 1 .

Agora, vamos pensar em que números multiplicados satisfazem essa equação:

1 × - 1 = - 1

1 2 × - 2 = - 1

3 × - 1 3 = - 1

Passo 2

Agora, vamos usar a fórmula da soma:

x ' + x ' ' = - b a

x ' + x ' ' = - - 8 3 = 8 3  

Assim, sabemos que as raízes somadas resultam 8 3 , vamos pegar os valores que multiplicamos antes e ver em qual deles a soma dá · .

1 + - 1 = 0

1 2 + ( - 2 ) = - 3 2

3 + - 1 3 = 8 3

Assim temos que as raízes é o que satisfez tanto a soma como produto:

Produto x ' ∙ x ' ' = - 1 :

3 × - 1 3 = - 1

Soma:   x ' + x ' ' = 8 3

3 + - 1 3 = 8 3