Introdução aos Triângulos

Teoria Completa

Introdução

Os triângulos são um dos assuntos mais importantes dentro da trigonometria, através do estudo deles conseguimos extrair muitas propriedades que serão extremamente úteis em cálculos mais complexos.

Tá, mas o que seriam os triângulos?

O triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

Esses ângulos vão ser muito importantes quando quisermos classificar os triângulos em grupos diferentes, mas antes, vamos ver algumas propriedades que são comuns a todos os triângulos.

Propriedades do Triângulos

( i ) Os triângulos são compostos por 3 vértices, 3 lados e 3 ângulos.

( i i ) A soma dos ângulos internos dos triângulos resulta em 180 ° .

( i i i ) A soma dos ângulos externos dos triângulos resulta em 360 ° .

Mas por que os ângulos são tão importantes quando trabalhamos com os triângulos?

Os ângulos determinam qual será o tipo do triângulo, ou seja, dependo da disposição dos seus ângulos, o triângulo pode pertencer à classes diferentes,

Tipos de Triângulos

Triângulo Equilátero

No triângulo equilátero, todos os seus lados tem a mesma medida e por consequência, todos seus ângulos também.

∝ 1 =   ∝ 2 =   ∝ 3

∝ 1 +   ∝ 2 +   ∝ 3 = 180 °

Triângulo Isósceles

O triângulo isósceles tem dois de seus lados iguais, dessa forma, dois de seus ângulos também são equivalentes.

∝ 2 =   ∝ 3

∝ 1 +   ∝ 2 +   ∝ 3 = 180 °

Triângulo Obtuso

Um de seus ângulos é maior que 90 ° .

∝ 1 > 90 °

∝ 1 + 2 ∝ +   ∝ 3 = 180 °

Obs: O triângulo obtuso também pode ser considerado isósceles caso ∝ 2 =   ∝ 3 .

Triângulo Escaleno

Nenhum de seus lados são iguais.

∝ 1 ≠   ∝ 2

∝ 1 ≠   ∝ 3

∝ 2 ≠   ∝ 3

∝ 1 +   ∝ 2 +   ∝ 3 = 180 °

Triângulo Retângulo

Um de seus ângulos é de 90 ° , é um dos mais importantes para trigonometria.

90 ° +   ∝ 2 +   ∝ 3 = 180 °

Obs: O triângulo retângulo também pode ser considerado como isósceles caso ∝ 2 =   ∝ 3 .

Mediana e Baricentro

O baricentro de um triângulo também é conhecido como seu centro d gravidade, centro de massa ou ponto de equilíbrio.

Mas como baricentro e medianas se relacionam?

A mediana é o ponto médio de um lado que se liga com o vértice oposto ao lado:

M é o ponto médio entre B C .

Podemos fazer isso com os outros dois lados e teremos algo assim:

Os pontos M , P e Q são pontos médios dos lados.

Quando ligamos os pontos das medianas com os vértices opostos observamos que as três medianas se cruzam em um único ponto.

Esse ponto (Ponto G ) será o baricentro do triângulo.

E aí, já está craque com os triângulos? Bora praticar...

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Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Um triângulo possui um de seus ângulos internos igual a 50 ° , tal triângulo pode ser triângulo equilátero? Justifique.

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Passo 1

Pelas propriedades dos triângulos sabemos que a soma de seus ângulos internos é igual a 180 ° e que um triângulo é formado por três ângulos internos.

Também sabemos que para um triângulo ser equilátero, ele precisa que todos os seus lados e ângulos sejam iguais.

Logo:

180 ° = 3 ∝

180 ° 3 = ∝

∝   = 60 °

Como todos os ângulos precisam ter 60 ° e o enunciado nos diz que um dos seus ângulos internos é de 50 ° , é impossível que seja um triângulo equilátero.

Resposta

Não. Todos seus ângulos internos deveriam ser 60 ° .

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Um triângulo escaleno tem seu maior ângulo interno de 115 ° e o menor de 25 ° . Qual é o valor do ângulo restante?

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Passo 1

O triângulo escaleno tem como característica seus três lados e ângulos internos serem diferentes.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 ° e o enunciado nos apresenta o valor de dois dos três ângulos que formam esse triângulo.

Logo:

115 ° + 25 ° + X ° = 180 °

140 ° + X ° = 180 °

X ° = 180 ° - 140 °

X ° = 40 °

Resposta

40 ° .

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Qual das alternativas abaixo está incorreta:

a) O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se cruzam.

b) Para obter uma mediana é necessário encontrar o ponto médio dos lados do triângulo.

c) Um triângulo pode possuir duas ou três medianas.

d) A mediana liga o ponto médio de um dos lados ao vértice oposto a esse ponto.

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Passo 1

Letra a)

Correta!

O baricentro é o ponto de intersecção entre as três medianas do triângulo.

Passo 2

Letra b)

Correta!

A mediana é dada por uma reta que liga o ponto médio de um lado ao vértice oposto.

Passo 3

Letra c)

Incorreta!

Todo triângulo possui por três lados e três vértices, portanto, sempre terá três medianas.

Passo 4

Letra d)

Correta!

Essa é a definição de mediana.

Resposta

Alternativa c).

Exercício Resolvido #4

Exercício sobre Triângulos – Brasil Escola – Adaptado.

Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90° e o segundo possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses triângulos são:

a) Retângulo e isósceles

b) Retângulo e escaleno

c) Retângulo e equilátero

d) Obtusângulo e escaleno

e) Obtusângulo e equilátero

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Passo 1

1º Triângulo

Analisando as propriedades dos triângulos conseguimos observar que, entre todos, o único que possui um ângulo de 90 ° é o Triângulo Retângulo.

Passo 2

2º Triângulo

Da mesma maneira, existe apenas um tipo de triângulo que possui todos os lados iguais e por consequência também possui todos os ângulos iguais.

O triângulo equilátero.

Resposta

Alternativa c).

Exercício Resolvido #5

Autoria própria.

A soma dos lados de um triângulo isósceles é igual a 36 c m , sabendo que o lado diferente tem medida igual a 14 c m , determine o valor dos lados restantes

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Passo 1

Por definição, temos que o triângulo isósceles é aquele em que dois de seus ângulos e dois de seus lados são iguais.

O enunciado nos diz que o lado diferente tem medida de 14 c m . Sendo assim, teremos algo do tipo:

Ainda não sabemos o valor dos dois outros lados, mas sabemos que são iguais, portanto, podemos dizer que ambos valem X c m .

Passo 2

O valor da soma dos três lados é 36 c m , sendo assim, temos:

36 = 14 + X + X

36 - 14 = 2 X

22 = 2 X

22 2 = X

X = 11

Resposta

Ambos medem 11 c m .

Exercício Resolvido #6

Autoria própria.

No triângulo A B C abaixo, B M é mediana. Determine qual é o perímetro do triângulo:

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Passo 1

Sabemos que a mediana dividi um lado pela metade.

Como A M vale 7,2 metros, M C também terá o mesmo valor.

Logo, temos:

P = A M + M C + C B + B A

P = 7,2 + 7,2 + 12,3 + 17,5

P = 44,2

Resposta

44,2 metros.

Exercício Resolvido #7

Autoria própria

Dois triângulos retângulos iguais são colocados de costas um para o outro. Determine a medida do lado desconhecido:

Obs: A soma da área dos triângulos é 48 m 2

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Passo 1

Ainda não vimo nenhuma fórmula ou propriedade que nos ajude a calcular o tamanho desse lado.

Porém, perceba que se juntarmos os dois triângulos, conseguimos formar um só:

Passo 2

Como o enunciado nos diz que a área da soma dos triângulos é de 48 c m 2 , podemos encontrar a altura do triângulo pela fórmula da área da base:

A = b ∙ h 2

Onde:

A → Área do triângulo;

b → Base;

h → Altura.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

48 = 12 ∙ h 2

2 ∙ 48 = 12 ∙ h

96 = 12 ∙ h

h = 96 12

h = 8

Resposta

8 c m .

Exercício Resolvido #8

Autoria própria.

Determine analisando triângulo abaixo qual é o valor da soma das medianas.

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Passo 1

Existi uma propriedade das medianas de um triângulo que garante que o ponto G (Baricentro), divide a mediana em duas partes.

A menor dessas partes tem comprimento 2 vezes menor que a parte maior.

Logo,

A G = 2 ∙ G P

B G = 2 ∙ G Q

C G = 2 ∙ G M

Passo 2

Como temos os valores dos lados menores das medianas, basta multiplicar por dois para descobri o valor dos lados maiores:

1º Mediana

A G = 2 ∙ 2 c m

A G = 4 c m

A soma entre A G e G P resultará no comprimento total da mediana A P :

A P = 4 c m + 2 c m

A P = 6 c m

2º Mediana

B G = 2 ∙ 4 c m

B G = 8 c m

A soma entre B G e G Q resultará no comprimento total da mediana B Q :

B G = 4 c m + 8 c m

B G = 12 c m

3º Mediana

C G = 2 ∙ 3 c m

C G = 6 c m

A soma entre C G e G M resultará no comprimento total da mediana C M :

C M = 3 c m + 6 c m

C M = 9 c m

Passo 3

Agora basta somarmos as três medianas para obter o valor total:

X = A P + B G + C M

X = 6 c m + 12 c m + 9 c m