Resolução de sistemas lineares com 2 e 3 incógnitas

Teoria Completa

Sistemas com duas incógnitas

E aí minha gente! Já vimos o que é um sistema linear com duas incógnitas, um exemplo é:

Mas como que encontramos o resultado desse sistema? Hehe é isso que vamos ver Existem vários métodos para resolver, os mais usados são :

  • Método da adição
  • Método da Substituição

Então, vamos aprender essas duas.

Método da adição

A ideia vai ser a gente somar as equações do nosso sistema, e quando fazemos essa soma, uma das incógnitas vai sumir (ou zerar). MAAAS COMOO???

Ai que surge a gambiarra hehe, nós vamos multiplicar uma das equações por um número estratégico, esse número vai nos ajudar a zerar uma incógnita quando fizermos a adição. Vamos pensar no nosso exemplo:

Já vimos que a ideia desse método é somar as duas equações para que elas virem uma só, e fazendo isso, uma das incógnitas vai sumir ou zerar.

Se escolhermos zerar a incógnita x , vamos olhar para segunda equação onde temos 4 x , e pensar “ que número que se eu somar com ele eu obtenho 0?”

Podemos pensar no - 4 x , por que assim vamos ficar com

4 x - 4 x = 0

Mas aí, tu olha pra primeira equação e percebe que em vez de você ter um - 4 x , você tem um 2 x . Pronto, esse é o momento exato pra usar nossa gambiarra, vamos novamente pensar, “que número eu multiplico a primeira equação, para ter um -4x?”

Se multiplicarmos a primeira equação por - 2 , conseguimos ter o nosso - 4 x . Então vamos fazer isso:

Lembrando que estamos multiplicando a equação TODA, ou seja, todos os membros.

Fazendo isso finalmente chegamos no - 4 x que queríamos

Agora é só somar as duas equações:

Agora, ficamos só com a equação : 4 y = 28

Resolvendo, temos que:

y = 7

Depois que descobrimos o valor de uma das incógnitas, é só substituir o valor em uma das duas equações, vamos substituir o valor de y na primeira:

Agora é só resolver essa outra equaçãozinha:

- 4 x + 14 = - 6

Assim x = 5 .

Nossa solução é:

(   5,7 )

Então, é só seguir esses passos que é sucesso:

  • 1º Passo: Escolher qual incógnita você vai zerar
  • 2º Passo: Pensar em um número para multiplicar uma das equações com o intuito de na hora que somar zerar uma das incógnitas.
  • 3º Passo: Multiplicar pelo número escolhido e somar as equações
  • 4º Passo: Resolver a equação e depois substituir o valor encontrado em uma das equações do sistema.

Método da Substituição

Esse método é o seguinte: escolhe uma equação e isola uma incógnita, depois substitui o valor que você encontrou na outra equação. Vamos pegar o nosso sisteminha:

Na primeira equação, vamos isolar uma variável, pode ser o x   ou o y , vamos escolher o y :

Agora que temos que o valor de y = - 3 + 2 x , vamos substituir isso na segunda equação:

Assim, ficamos com a equação:

4 x - 6 + 4 x = 34

8 x - 6 = 34

Resolvendo, temos que x = 5 . Depois de descobrir o valor da variável x, voltamos na que isolamos e resolvemos:

Assim, temos que y = 7 . Nossa solução é:

(   5,7 )

É isto, então o método da substituição possui os seguintes passos:

  • 1º Passo: Isolar uma incógnita de uma das equações
  • 2º Passo: Substituir a expressão encontrada na outra equação.
  • 3º Passo: Resolver as equações.

Escalonamento- sistema linear com três incógnitas

Belezinha, já aprendemos duas maneiras de como resolver um sistema linear com duas variáveis (ou incógnitas), mas e quando temos 3 ? Existem vários métodos, mas o mais utilizado é o escalonamento. O escalonamento está ligado com escada hehe, você vai pegar seu sistema todo cheio, como esse:

E deixar ele assim:

Sim, esses sistemas são equivalentes. Ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Beleza, mas como fazer isso? Existem 4 coisinhas que você pode fazer no seu sistema, e você vai usar elas ao seu favor:

  1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
  2. Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
  3. Trocar duas equações de posições entre si;
  4. Multiplicar uma das equações por um número e somá-la ou subtraí-la a outra;

Então, você vai pegar seu sistema, usar suas ferramentas e deixar ela no formato de escada. Assim, vamos fazer o passo a passo de como escalonar esse sistema:

1º Passo: escolher uma das equações e deixar ela como a primeira equação do seu sistema.

DICA: Escolha sempre a que têm os coeficientes que multiplicam as incógnitas, com os valores mais baixos.Nesse caso, vamos escolher a primeira equação mesmo. Então, não vamos trocar nenhuma equação de lugar.

2º Passo: Vamos zerar a primeira incógnita, nesse caso o x, ou seja, nós queremos zerar essa parte:

Para isso, vamos usar nossas ferramentas, nós podemos multiplicar uma equação por um número e somar na outra. Sempre vamos multiplicar a equação que escolhemos no passo 1, por um número que vai cancelar o x nas outras equações. Então bora lá! Na segunda equação temos: 2 x + 5 y + 3 z = 7

Nós queremos que o 2 x   desapareça, então precisamos somá-lo com um - 2 x , porém na primeira equação, nós temos só x . Por isso, vamos multiplicar a primeira linha por - 2 e depois vamos somar com a segunda

  • Multiplicando por - 2 :
  • Essa multiplicação vai ser só imaginária, a linha vai continuar como antes. Agora vamos somar essa equação na segunda:

    Agora vamos olhar para a terceira equação:

    - x + 2 y + 3 z = 10

    Temos um – x , para zerar precisamos de um x, e já temos isso na primeira equação, então vamos só somar:

    3º Passo: Pronto, a próxima parte da escada que vamos precisar zerar vai ser, ou seja tirar a variável y da última equação.

    Mas não vamos usar mais a primeira equação, se usarmos ela, o x vai voltar e não queremos isso. Então, vamos usar a segunda equação. Na terceira equação temos:

    3 y + 4 z = 10

    Para zerar o y , precisamos somar um - 3 y , nessa equação. A segunda equação tem 3 x , então vamos multiplicá-la por - 1 e somar na última :

  • Multiplicando por - 1

Agora somando:

E com isso, você acabou de fazer seu primeiro sistema escalonado, para encontrar os valores é só ir resolvendo as equações e quando encontrar um valor substitui na outra de baixo para cima. Da última equação temos que:

3 z = 3     ⇒ z = 1

Agora sabendo que z = 1 , subimos para a segunda equação e colocamos seu valor lá :

3 y + z = 3 y + 1 = 7     ⇒ y = 2      

E agora vamos para a primeira equação: x + y + z = 0

x + 2 + 1 = 0   ⇒   x = - 3      

Assim, temos que a solução da nossa equação é:

( - 3 ,   2,1 )

Essa é a ideia do escalonamento, para três incógnita sempre fazemos na mesma sequência, usamos a primeira equação para cancelar a variável x   das outras duas equações, depois usamos a segunda para zerar o y da terceira.

Agora partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Resolva pelo método da adição:

x + y = 6 x - y = 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia do método da adição é você somar as duas equações, e quando fizer isso uma das incógnitas some (ou é zerada).

Vamos olhar para o nosso sistema:

x + y = 6 x - y = 8

Perceba que se a gente somar as equações, a nossa variável y vai zerar, por que:

y + - y = 0 Assim, não precisamos fazer modificações, podemos apenas somar nosso sistema.

Passo 2

Somando:

Agora, fazendo essa conta, temos:

x + x + y + - y = ( 6 + 8 )

2 x + 0 = 14

2 x = 14

x = 14 2

x = 7

Passo 3

Depois de descobrir o valor de uma incógnita, voltamos a uma das primeiras equações e substituímos. Vamos fazer isso na primeira:

x + y = 6

Descobrimos que x = 7 , assim :

7 + y = 6

y = 6 - 7

y = - 1

Assim, o par ordenado ( 7 , - 1 ) é solução da nossa equação.

Resposta

( 7 , - 1 )

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva pelo método da adição:

x + 2 y = 4 2 x - y = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia do método da adição é você somar as duas equações e zerar ou sumir com uma das incógnitas. Vamos primeiro escolher uma incógnita para zerar, pode ser a x . Agora, precisamos pensar em um número para multiplicar a primeira equação, para que na hora que somarmos com a segunda a variável x zere. Olhando para a segunda equação:

2 x - y = 3

Temos um 2 x , para zerar preccismos soma-lo com um ( - 2 x ) , porém na primeira equação temos apenas x . Assim, podemos multiplicar nossa primeira equação por - 2 , e somar com a segunda.

Passo 2

Fazendo a multiplicação por ( - 2 ) :

Feito isso, vamos somar as duas equações:

Resolvendo a equação :

( - 2 x + 2 x ) + ( - 4 y + ( - y )   ) = ( - 8 + 3 )

0 - 5 y = - 5

- 5 y = - 5

y = - 5 - 5

y = 1

Passo 3

Agora que descobrimos o valor de y, vamos voltar em uma das equações iniciais e substituir, vamos pegar a segunda equação:

2 x - y = 3

Substituindo:

2 x - 1 = 3

2 x = 4

x = 2

Assim, o par ordenado ( 2,1 ) , é solução do nosso sistema.

Resposta

( 2,1 )

O que é o mesmo que:

x = 2 y = 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Resolva pelo método da adição:

3 x + y = 23 3 x - 2 y = 17

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos escolher a incógnita x para zerar. Para fazer isso, vamos olhar para a segunda equação:

3 x - 2 y = 17

Temos um 3 x , para zerar, precisamos somar com um ( - 3 x ) . Porém se olhamos aa primeira equação:

3 x + y = 23

Nós temos um 3 x , para cconsseguirmos o - 3 x   que queremos, basta multiplicarmos primeira equação por - 1

Passo 2

Multiplicando por - 1 :

Agora, somando essas duas equações, temos:

Resolvendo a equação: - 3 x + 3 x + - y +   ( - 2 y )   =   ( - 23 + 17 )

0 - 3 y = - 6

- 3 y = - 6

y = 2

Passo 3

Agora, é só substituir y = 2 em uma das equações iniciais, vamos jogar na primeira:

3 x + y = 23

3 x + 2 = 23

3 x = 21

x = 7 Temos que o par ordenado ( 7,2 )   é solução da nossa equação.

Resposta

( 7,2 )

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Resolva pelo método da substituição:

x = 2 y + 2 3 x - 3 y = 12

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O método da substituição, nada mais é do que isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação. Vamos dar uma olhada no nosso sistema:

x = 2 y + 2 3 x - 3 y = 12

Já na primeira equação, temos que o x já está isolado:

x = 2 y + 2

Agora é só substituir na segunda equação esse valor de x.

Passo 2

Substituindo:

Agora é só resolver essa equaçãozinha :

3 ( 2 y + 2 ) - 3 y = 12

6 y + 6 - 3 y = 12

6 y - 3 y = 12 - 6

3 y = 6

y = 2

Passo 3

Agora que descobrimos o valor de y, vamos voltar na primeira equação e substituir y = 2

x = 2 y + 2

x = 2 ( 2 ) + 2

x = 4 + 2

x = 6

Assim, o par ordenado ( 6,2 ) é solução da nossa equação

Resposta

( 6,2 )

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Resolva usando o método da substituição

x + y = 16 y = 3 x - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para usarmos a substituição, precisamos isolar uma das incógnitas, podemos ver que nesse caso nossa segunda equação já temos o y isolado.

y = 3 x - 4

Agora, basta substituirmos o valor dessa incógnita na nossa primeira equação.

Passo 2

Substituindo na primeira equação :

Agora, resolvendo :

x + ( 3 x - 4 ) = 16

x + 3 x = 16 + 4

4 x = 20

x = 5

Passo 3

Para finalizar, vamos substituir x = 5 , na segunda equação : y = 3 x - 4

y = 3 5 - 4

y = 15 - 4

y = 11

Assim, o par ordenado ( 5,11 ) é solução do nosso sistema.

Resposta

( 5,11 )

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Resolva usando o método da substituição

x + y = - 2 3 x + 2 y = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para usarmos a substituição, precisamos isolar uma das incógnitas, para isso vamos escolher qual incógnita vamos querer isolar, vamos escolher a x.

Na primeira equação temos :

x + y = - 2

Isolando:

x = - 2 - y

Agora é só ir na segunda equação e substituir essa expressãozinha.

Passo 2

Substituindo na segunda equação :

Agora, resolvendo :

3 - 2 - y + 2 y = 1

- 6 - 3 y + 2 y = 1

- 3 y + 2 y = 1 + 6

- 1 y = 7

y = - 7

Passo 3

Para finalizar, vamos substituir y = - 7 , na primeira equação : x = - 2 - ( - 7 )

x = 5

Assim, o par ordenado ( 5 , - 7 ) é solução do nosso sistema.

Resposta

( 5 , - 7 )    

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Resolva o sistema:

x + y + z = 10         2 y + 4 z = 9                             2 z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos ver que esse sistema já está escalonado, assim vamos ir isolando as incógnitas da ultima equação até a primeira.

Terceira equação:

2 z = 1

z = 1 2

Passo 2

Agora que temos o valor de z, subimos para a segunda equação e substituímos seu valor:

2 y + 4 z = 9

2 y + 4 1 2 = 9

Resolvendo:

2 y = 9 - 2

2 y = 7

y = 7 2

Passo 3

Agora subimos para a primeira à equação e substituímos o valor de y e z

x + y + z = 10

x + 7 2 + 1 2 = 10

x + 4 = 10

Assim temos:

x = 6

Resposta

6 , 7 2 , 1 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Resolva o sistema: x + y + z = 5 2 x + y + 3 z = 26 5 x - y + z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos um sistema de três incógnitas, para resolver vamos fazer o escalonamento, que é deixar nosso sistema parecido com uma escada, ou seja, vamos zerar essa parte:

Vamos começar zerando a incógnita x da segunda e terceira equação.

Na segunda equação, temos:

2 x + y + 3 z = 26

Para zerar o 2 x , precisamos de - 2 x , mas na primeira equação temos apenas x . Assim, vamos multiplicar a primeira equação por - 2 :

Agora, vamos somar na segunda linha:

Agora, vamos zerar o x da terceira equação, temos:

5 x - y + z = 1

Precisamos de - 5 x , para isso vamos multiplicar a primeira equação por -5:

Somando na ultima:

Passo 2

Vamos zerar o y, na ultima equação, temos:

- 6 y - 4 z = - 24

Para fazer isso, precisamos somar 6 y , e na segunda equação, temos - y . Então podemos multiplicar a segunda por - 6 .

Somando:

Passo 3

Agora que temos o sistema escalonado, vamos isolar as incógnitas, da ultima equação temos:

- 10 z = - 120

z = - 120 - 10 = 12

Agora vamos para a segunda equação e substituindo o valor de z: 6 y - 6 z = - 96

6 y - 6 ( 12 ) = - 96

6 y = 72 - 96

y = - 24 6 = - 4

Agora na primeira equação:

x + y + z = 5

x - 4 + 12 = 5

x = 5 - 8 = - 3

Resposta

( - 3 , - 4,12 )

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