Resolução de sistemas lineares com 2 e 3 incógnitas

Teoria Completa

Sistemas com duas incógnitas

Eaeee minha gente, já vimos o que é um sistema linear com duas incógnitas , um exemplo é :

2 x - y = 3 4 x + 2 y = 34

Mas como que encontramos o resultado desse sistema?

Hehe é isso que vamos ver

Existem vários métodos para resolver, os mais usados são :

  • Método da adição
  • Método da Substituição

Então, vamos aprender essas duas.

Método da adição

A ideia vai ser a gente somar as equaçõeszinhas do nosso sistema, e quando fazemos essa soma, uma das incógnitas vai sumir ( ou zerar). MAAAS COMMO???

Ai que surge a gambiarra hehe, nós vamos multiplicar uma das equações por um número estratégico, esse número vai nos ajudar a zerar uma incógnita quando fizermos a adição.

Vamos pensar no nosso exemplo :

2 x - y = 3 4 x + 2 y = 34

Já vimos que a ideia desse método é somar as duas equações para que elas virem uma só, e fazendo isso, uma das incógnitas vai sumir ou zerar.

Se escolhermos zerar a incógnita x , vamos olhar para segunda equação onde temos 4 x , e pensar “ que número que se eu somar com ele eu obtenho 0?”

Podemos pensar no - 4 x , por que assim vamos ficar com

4 x - 4 x = 0

Maas ae, tu olha pra primeira equação e percebe que em vez de você ter um - 4 x , você tem um 2 x . Pronto, esse é o momento exato pra usar nossa gambiarra, vamos novamente pensar, ”que número eu multiplico a primeira equação, para ter um -4x?

Se multiplicarmos a primeira equação por -2, conseguimos ter o nosso - 4 x . Então vamos fazer isso :

Lembrando que estamos multiplicando a equação TODA, ou seja, todos os membros.

Fazendo isso finalmente chegamos no - 4 x que queríamos

Agora é só somar as duas equações :

Agora, ficamos só com a equação : 4 y = 28

Resolvendo, temos que :

y = 7

Depois que descobrimos o valor de uma das incógnitas, é só substituir o valor em uma das duas equações, vamos substituir o valor de y na primeira:

Agora é só resolver essa outra equaçãozinha :

- 4 x + 14 = - 6

Assim x = 5 .

Nossa solução é :

(   5,7 )

Então, é só seguir esses passos que é sucesso:

1º Passo: Escolher qual incógnita você vai zerar

2º Passo: Pensar em um número para multiplicar uma das equações com o intuito de na hora que somar zerar uma das incógnitas.

3º Passo: Multiplicar pelo número escolhido e somar as equações

4º Passo: Resolver a equação resultada e depois substituir o valor encontrado em uma das equações do sistema.

Método da Substituição

Esse método é o seguinte:

Escolhe uma equação e isola uma incógnita, depois substitui o valor que você encontrou na outra equação.

Vamos pegar o nosso sisteminha :

2 x - y = 3 4 x + 2 y = 34

Na primeira equação, vamos isolar uma variável, pode ser o x ou o y, vamos escolher o y :

Agora que temos que o valor de y = - 3 + 2 x , vamos substituir isso na segunda equação :

Assim, ficamos com a equação :

4 x - 6 + 4 x = 34

8 x - 6 = 34

Resolvendo, temos que x = 5

Depois de descobrir o valor da variável x, voltamos na que isolamos e resolvemos :

Assim, temos que y = 7

Nossa solução é :

(   5,7 )

É isto, então o método da substituição é os seguintes passos :

1º Passo: Isolar uma incógnita de uma das equações

2º Passo: Substituir a expressão encontrada na outra equação.

3º Passo: Resolver as equaçõeszinhas

Escalonamento- sistema linear com três incógnitas

Belezinha, já aprendemos duas maneiras de como resolver um sistema linear com duas variáveis (ou incógnitas ), mas e quando temos 3 ?

Existem vários métodos, mas o mais utilizado é o escalonamento.

O escalonamento está ligado com escada hehe, você vai pegar seu sistema todo cheio, como esse:

x + y + z = 0 2 x + 5 y + 3 z = 7 - x + 2 y + 3 z = 10

E deixar ele assim:

x + y + z = 0             3 y + z = 7                                   3 z = 3

Siim, esses sistemas são equivalentes. Ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.

Beleza, mas como fazer isso?

Existe 4 coisinhas que você pode fazer no seu sistema, e você vai usar elas ao seu favor:

  1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
  2. Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
  3. Trocar duas equações de posições entre si;
  4. Multiplicar uma das equações por um número e somá-la ou subtraí-la a outra;

Então, você vai pegar seu sistema, usar suas ferramentas e deixar ela no formato de escada.

Assim, vamos fazer o passo a passo de como escalonar esse sistema:

x + y + z = 0 2 x + 5 y + 3 z = 7 - x + 2 y + 3 z = 10

1º Passo: escolher uma das equações e deixar ela como a primeira equação do seu sistema.

DICA: Escolha sempre a que têm os coeficientes que multiplicam as incógnitas, com os valores mais baixos.

Nesse caso, vamos escolher a primeira equação mesmo. Então, não vamos trocar nenhuma equação de lugar.

2º Passo: Vamos zerar a primeira incógnita, nesse caso o x, ou seja, nós queremos zerar essa parte:

Para isso, vamos usar nossas ferramentas, nós podemos multiplicar uma equação por um número e somar na outra.

Sempre vamos multiplicar a equação que escolhemos no passo 1, por um número que vai cancelar o x nas outras equações.

Então bora lá

Na segunda equação temos: 2 x + 5 y + 3 z = 7

Nós queremos que o 2 x   desapareça, então precisamos soma-lo com um - 2 x , porém na primeira equação, nós temos só x . Por isso, vamos multiplicar a primeira linha por - 2 e depois vamos somar com a segunda

  • Multiplicando por - 2 :
  • Essa multiplicação vai ser só imaginária, a linha vai continuar como antes.

    Agora vamos somar essa equação na segunda:

    Agora vamos olhar para a terceira equação:

    - x + 2 y + 3 z = 10

    Temos um – x , para zerar precisamos de um x, e já temos isso na primeira equação, então vamos só somar:

    3º Passo: Pronto, a próxima parte da escada que vamos precisar zerar vai ser, ou seja tirara varável y da ultima equação.

    Mas não vamos usar mais a primeira equação, se usarmos ela, o x vai voltar e não queremos isso.

    Então, vamos usar a segunda equação.

    Na terceira equação temos :

    3 y + 4 z = 10

    Para zerar o y, precisamos somar um - 3 y , nessa equação. A segunda equaçãozinha tem 3 x , então vamos multiplica-la por - 1 e somar na ultima :

  • Multiplicando por - 1

Agora somando:

E com isso, você acabooou de fazer seu primeiro sistema escalonado, para encontrar os valores é só ir resolvendo as equações e quando encontrar um valor substitui na outra de baixo para cima.

Da ultima equação temos que:

3 z = 3     ⇒ z = 1

Agora sabendo que z=1, subimos para a segunda equação e colocamos seu valor lá :

3 y + z = 7 3 y + 1 = 7     ⇒ y = 2      

E agora vamos para a primeira equação : x + y + z = 0

x + 2 + 1 = 0   ⇒   x = - 3      

Assim, temos que a solução da nossa equação é :

( - 3 ,   2,1 )

Essa é a ideia do escalonamento, para três incógnita sempre fazemos na mesma sequencia, usamos a primeira equação para cancelar a variável x   das outras duas equações, depois usamos a segunda para zerar o y da terceira

Agora partiu exercícios .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Resolva pelo método da adição:

x + y = 6 x - y = 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia do método da adição é você somar as duas equações, e quando fizer isso uma das incógnitas some (ou é zerada).

Vamos olhar para o nosso sistema:

x + y = 6 x - y = 8

Perceba que se a gente somar as equações, a nossa variável y vai zerar, por que:

y + - y = 0 Assim, não precisamos fazer modificações, podemos apenas somar nosso sistema.

Passo 2

Somando:

Agora, fazendo essa conta, temos:

x + x + y + - y = ( 6 + 8 )

2 x + 0 = 14

2 x = 14

x = 14 2

x = 7

Passo 3

Depois de descobrir o valor de uma incógnita, voltamos a uma das primeiras equações e substituímos. Vamos fazer isso na primeira:

x + y = 6

Descobrimos que x = 7 , assim :

7 + y = 6

y = 6 - 7

y = - 1

Assim, o par ordenado ( 7 , - 1 ) é solução da nossa equação.

Resposta

( 7 , - 1 )

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva pelo método da adição:

{ x + 2 y = 4   2 x - y = 3  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia do método da adição é você somar as duas equações e zerar ou sumir com uma das incógnitas.

Vamos primeiro escolher uma incógnita para zerar, pode ser a x.

Agora, precisamos pensar em um número para multiplicar a primeira equação, para que na hora que somarmos com a segunda a variável x zere.

Olhando para a segunda equação:

2 x - y = 3

Temos um 2 x , para zerar preccismos soma-lo com um ( - 2 x ) , porém na primeira equação temos apenas x.

Assim, podemos multiplicar nossa primeira equação por - 2 , e somar com a segunda.

Passo 2

Fazendo a multiplicação por ( - 2 ) :

Feito isso, vamos somar as duas equações:

Resolvendo a equação :

- 2 x + 2 x + - 4 y + ( - y )   = ( - 8 + 3 )

0 - 5 y = - 5

- 5 y = - 5

y = - 5 - 5

y = 1

Passo 3

Agora que descobrimos o valor de y, vamos voltar em uma das equações iniciais e substituir, vamos pegar a segunda equação:

2 x - y = 3

Substituindo:

2 x - 1 = 3