Operações com Números Complexos

Teoria Completa

Motivação

Fala aí, como você está? Tudo bem?

Já bebeu água hoje? Se não, corre lá rapidinho... (Sério, me preocupo com você)

Vamos ao que interessa ...

Nesse tópico vamos aprender algumas coisas importantes no que diz respeito aos números complexos: As operações.

Já sabemos como fazer essas operações em todos os outros conjuntos só falta aprendermos a trabalhar com ela no conjunto dos números complexos.

Vamos falar nesse tópico sobre a Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão.

Vamos nessaaaa!

Adição e Subtração

Sabemos que os números complexos sempre vão estar no formato

z = a + b i

Onde o a é a parte real e o b é e a parte imaginária

A ideia é bem simples: Vamos somar e subtrair os semelhantes.

Ou seja, Parte real de um com parte real do outro e parte imaginária de um com parte imaginária do outro.

Por exemplo:

Seja

z 1 = 3 + 5 i

z 2 = - 4 + 3 i

Vamos fazer

z 1 + z 2 = ( 3 + 5 i ) + ( - 4 + 3 i )

Agora basta juntar os semelhantes

z 1 + z 2 = 3 - 4 + 5 i + 3 i = - 1 + 8 i

O mesmo vai valer para a subtração...

z 1 - z 2 = 3 + 5 i - ( - 4 + 3 i )

Vamos trocar os sinais de quem está dentro do parênteses e depois juntar os semelhantes. Assim, ó...

z 1 + z 2 = 3 + 5 i + 4 - 3 i = 3 + 4 + 5 i - 3 i = 7 + 2 i

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Multiplicação e Divisão

Vamos a nossa multiplicação...

De cara você vai perceber que usaremos coisas que (muito provavelmente) já vimos antes.

Seja

z 3 = - 2 + 4 i

z 4 = 1 + 3 i

Fazendo a multiplicação, teremos

z 3 . z 4 = - 2 + 4 i . ( 1 + 3 i )

Agora basta fazermos a distributiva

z 3 . z 4 = - 2   .   1 + - 2 . 3 i + 4 i . 1 + 4 i . 3 i = - 2 - 6 i + 4 i + 12 i ²

Até aí, ok?

Só não esquece do seguinte...

i ² = - 1

Portanto...

z 3 . z 4 = - 2 - 6 i + 4 i + 12 - 1 = 2 - 6 i + 4 i - 12

Juntando os semelhantes, temos

z 3 . z 4 = - 2 - 6 i + 4 i - 12 = - 14 - 2 i

Na multiplicação, temos um fato interessante. Toda vez que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado (mesmo número, mas com a parte imaginária tendo sinal trocado), encontramos um número real. Por exemplo:

z 3   .   z - 3 = - 2 + 4 i - 2 - 4 i = 4 + 8 i - 8 i - 16 i 2 = 4 + 16 = 20

Lembra dessa ideia porque vamos usá-la em breve, tá?

Agora vamos a divisão, utilizaremos os mesmos números complexos do exemplo anterior. Teremos o seguinte...

z 3 z 4 = - 2 + 4 i 1 + 3 i

Agora, a pergunta que não quer calar é...

COMO VAMOS RESOLVER ISSO?

Se você pensou em “dividir os semelhantes”...

Daí teremos

- 2 + 4 i 1 + 3 i = - 2 + 4 3 i  

Certo?

.

.

.

.

Parabéns, você acabou de ERRAR hahahaha

Não podemos fazer isso, porque sempre precisamos pensar na divisão como o inverso da multiplicação. Por exemplo

6 3 = 2     →       2   .   3 = 6

No entanto, se fizéssemos

- 2 + 4 i 1 + 3 i = - 2 + 4 3 i  

Se multiplicássemos

1 + 3 i       e     - 2 + 4 3 i

Teríamos

1 + 3 i - 2 + 4 3 i = - 2 + 4 3 i - 6 i + 4 i ²

Ok, já deu pra perceber que o resultado disso será BEEEEM diferente de - 2 + 4 i

Como resolveremos isso então?

Na verdade, vamos utilizar uma outra ideia...

Se multiplicarmos uma fração, por uma outra que tenha os mesmos valores no numerador e no denominador, manteremos a nossa fração inicial. Por exemplo:

3 5     .     2 2 = 3 5

Mas por que isso é importante?

Porque poderemos reescrever a nossa divisão transformando o nosso denominador em um número real... Mas como faremos isso?

Usando o CONJUGADO do denominador.

Da seguinte forma...

z 3 z 4 = - 2 + 4 i 1 + 3 i     .     1 - 3 i 1 - 3 i = - 2 + 6 i + 4 i + 12 1 2 + 3 2 = 10 + 10 i 10 = 1 + i

É isso que vamos fazer toda vez que quisermos fazer uma divisão... Vamos achar o conjugado do nosso denominador e depois vamos multiplicar o numerador e o denominador por ele. Tranquilo, né?

Potências de i

Pra fecharmos esse nosso papo, vamos falar sobre o nosso amigão imaginário, isso mesmo... O nosso “ i ”. Já sabemos que i ² = - 1 ...

Mas quanto vale i 107 ou       i 2050 ?

Difícil saber?

Calma, vamos pensar nisso um pouco mais devagar

i 0 = 1                     i 1 = i                   i 2 = - 1                 i 3 = i   .   i 2 = i - 1 = - i               i 4 = i 2   .     i 2 = - 1 - 1 = 1  

i 5 = i 4   .   i = 1   .   i = i                       i 6 = i 4   .     i 2 = 1   .     - 1 =   - 1           i 7 = i 4   .     i 3 = 1   . (   - i )

E assim por diante...

Você deve ter percebido que sempre teremos os mesmos valores aparecendo, mas pra facilitar o nosso trabalho, vamos pensar no seguinte: Pelo cálculo que fizemos i 4 = 1 , ou seja, sempre vai compensar colocar nosso expoente em função do 4, como assim?

Vamos calcular aquelas potências que vimos no início...

i 107

Primeira coisa que vamos fazer é dividir o   107 é o nosso expoente por 4 . Fica assim, ó...

Ou seja, podemos escrever o 107   como

107 = 26   × 4 + 3

Sendo assim,

i 107 = i 4 26     .     i 3 = 1 26     .   - i = - i

De modo geral, basta você dividir o expoente por 4 e o valor que você encontrar no resto, será o novo expoente.

i 107 = i 3

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Agora #PartiuExercicios

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Exercício Resolvido #1

IFAL 2018 (adaptada)

Qual o quociente entre os números complexos     z 1 = 1 + i e z 2 = 1 - i ?

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Passo 1

FAAAAALA AÍ!

Queremos determinar o quociente desses dois números complexos:       z 1 = 1 + i e z 2 = 1 - i

Ou seja, queremos

  z 1   z 2 = 1 + i 1 - i

Para isso a primeira coisa que vamos fazer é calcular o conjugado do denominador

  z 2 = 1 - i   →     z 2 - = 1 + i  

Passo 2

Pra finalizar, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo nosso conjugado...

  z 1   z 2 = 1 + i 1 - i     .     1 + i 1 + i = 1 + i + i + i 2 1 2 + 1 2 = 1 - 1 + 2 i 2 = 2 i 2 = i

Resposta

i

Exercício Resolvido #2

Unisc 2017 (adaptada)

Qual é a parte real do número complexo z = 1 + 3 i 2 1 - i ?

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Passo 1

Temos o seguinte complexo

z = 1 + 3 i 2 1 - i

Primeira coisa que vamos fazer é determinar aquela potenciação que aparece ali

z =   z 1   z 2 = 1 + 3 i 2 1 - i =   1 + 9 i 2 1 - i = 1 - 9 1 - i =   - 8 1 - i

Beleza, agora precisamos encontrar o conjugado do denominador

  z 2 = 1 - i   →     z 2 - = 1 + i  

Passo 2

Pra finalizar, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo nosso conjugado...

  z 1   z 2 = - 8 1 - i     .     1 + i 1 + i = - 8 - 8 i 1 2 + 1 2 = - 8 - 8 i 2 = - 4 - 4 i

Ou seja,

A parte real do nosso complexo z   é - 4 .

Resposta

R e z = - 4

Exercício Resolvido #3

Pucsp 2018 (adaptada)

Considere os números complexos z 1 = a + b i , z 2 = - b + a i e z 3 = - b + 3 i com a e b números inteiros. Sabendo que z 1 + z 2 + z 3 = 0 . Qual o valor de   z 2 z 1 3 ?

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Passo 1

Temos os seguintes números complexos

z 1 = a + b i , z 2 = - b + a i e z 3 = - b + 3 i

O enunciado também nos dá que

z 1 + z 2 + z 3 = 0

Vamos então substituir os valores dados ...

z 1 + z 2 + z 3 = 0

a + b i + - b + a i + - b + 3 i = 0

Juntando os semelhantes, temos

( a - 2 b ) + ( 3 + a + b ) i = 0

Para que um número complexo seja igual a zero, precisamos que tanto a parte real quanto a parte imaginária sejam iguais a zero.

Ou seja

a - 2 b = 0 3 + a + b = 0

Passo 2

Agora precisamos resolver esse sistema que apareceu pra gente

Da primeira expressão, temos

a = 2 b

Substituindo, teremos

3 + 2 b + b = 0

3 b = - 3

b = - 1

Sendo assim

a = 2   .   - 1 =   - 2

Podemos dizer que

z 1 = a + b i =   - 2 - i

z 2 = - b + a i = 1 - 2 i

Passo 3

O enunciado nos pede para calcularmos

z 2 z 1 3

Vamos primeiro fazer a nossa divisão

z 2 z 1 = 1 - 2 i - 2 - i     . - 2 + i - 2 + i = - 2 + i + 4 i - 2 i 2 - 2 2 + 1 2 = 5 i 5 = i

Teremos então z 2 z 1 3 = i 3

Ou seja

i 3 = i 2   .     i = - 1   .     i = - i  

Resposta

- i

Exercício Resolvido #4

Uece 2017 (adaptada)

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a - 1 então, qual o valor de 5   .   i 227 + i 6 - i 13

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa que faremos é dividir os expoentes das potências do i por 4 para descobrirmos qual o resto deixado. Vamos nessa?

227   =   56   .     4   +   3

6 = 1   .   4 + 2

13 = 3   .   4 + 1

Beleza, mas no que isso adianta a gente?

Passo 2

Poderemos escrever

5   .   i 227 + i 6 - i 13

Da seguinte forma

5   .   i 4 56   .     i 3 + i 4 .     i 2 - i 4 3   .     i

Como podemos afirmar que: i 4 = 1 ; i 3 = - i ; i 2 = - 1 , teremos

5   .   1 56   .     i 3 + 1   .     i 2 - 1 3   .     i = 5 i 3 + i 2 - i = - 5 i - 1 - i = - 6 i - 1

Resposta

- 6 i - 1

Exercício Resolvido #5

Efomm 2018 (adaptada)

Qual será o valor de 1 + i + i 2 + … + i n ?

Dado que n = 4 k + 1 e k ∈ Z

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Passo 1

Já sabemos que

i 0 = 1     ;   i 1 = i   ;     i 2 =   - 1     ;     i 3 = - i   ;   i 4 = 1

Depois disso, vimos que a gente repete a mesma sequência de números do   i 1   a o   i 4