Problemas com Funções do 1º Grau

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Teoria

Introdução

Anteriormente, vimos o que é e como se comporta uma função de 1º grau.

Mas será que essas funções são capazes de modelar situações do cotidiano?

Olhe esse exemplo:

Imagine que você precisa pegar um táxi do aeroporto até sua casa...

O preço da bandeira (valor inicial da corrida) é de 6,00 reais e é cobrado 2,00 reais a cada quilômetro percorrido.

O valor da bandeira nunca é alterado, porém a quantidade de quilômetros percorridos resultará no valor final da corrida.

Sendo assim, o valor da corrida varia conforme a distância varia. Podemos chamar a distância percorrida de x e escrever a função:

f x = 2 x + 6

Sendo,

f ( x ) → O valor total da corrida.

x → A variável independente.

6 → O valor da bandeira.

Montando o Gráfico

Atribuindo valores para x podemos montar uma tabela e compreender melhor o comportamento dessa função:

E o gráfico fica assim:

Equações do 1º Grau

O próximo passo depois de se familiarizar com as funções é estudar as equações.

Mas o que são equações do 1º grau e o que muda em relação às funções???

Nas funções o x se comporta como uma variável independente, ou seja, conforme o valor de x muda, o valor de f ( x ) também muda.

Já na equação, o x irá se comportar como uma incógnita, ou seja, ela terá um valor específico para x que não irá se alterar.

Vamos ver um exemplo...

Resolva a equação abaixo:

5 X - 4 = X + 12

Deixando X de um lado e números do outro teremos:

5 X - X = 12 + 4

4 X = 16

X = 16 4

X = 4

Nessa equação X tem um valor específico ( X = 4 ) .

Percebeu a diferença!?

Beleza... Mas por que as equações são tão importante para resolver problemas?

Em muitos casos, os problemas irão pedir um valor específico de X e você só será capaz de encontrar a partir de uma equação.

Problema Prático

A diferença de idade entre dois meninos é de 12 anos. Sabendo que o menino mais velho tem 4 vezes a idade do mais novo, determine a idade atual dos dois meninos.

Vamos chamar a idade do menino mais velho de X e a do mais novo de Y .

Sabemos que o menino mais velho tem idade igual a 4 vezes a idade do menino mais novo

X = 4 Y

Também sabemos que a diferença de idade entre eles é de 12 anos, logo:

X - Y = 12

Mas nó já sabemos que X = 4 Y , então vamos substituir aqui

4 Y - Y = 12

E está pronto nossa equação.

Resolvendo-a, poderemos encontrar a idade que o menino mais novo

4 Y - Y = 12

3 Y = 12

Y = 12 3 = 4   a n o s

Essa é a idade do mais novo! A idade do mais velho é 4 vezes isso, ou seja

X = 4 Y = 4 ⋅ 4 = 16   a n o s

Viu como as funções e as equações andam lado a lado nas resoluções desses problemas!?

Agora que já vimos como lidar e resolver esses problemas, que tal praticarmos um pouco?

Montando o Gráfico

Equações do 1º Grau

Problema Prático

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Certo vendedor tem um salário composto de uma parte fixa de R $   1.200,00 e a cada venda é acrescentado R $   50,00 . Qual a função que representa o salário desse vendedor com relação ao número de vendas realizadas?

Passo 1

O salário é composto de uma parte fixa e uma parte variável. Em uma função do primeiro grau temos

f ( x ) = a x + b

Podemos ver que o b é fixo, ele sempre vai assumir o mesmo valor, porém o valor de x fica variando.

Passo 2

Olhando novamente para o nosso vendedor

Podemos ver que x é o número de vendas que ele realiza durante o mês, ele pode vender 1, 2, 3,4...

E cada venda ele recebe

R $   50,00

Ou seja, se ele vender um, ele recebe apenas R $   50,00 , se vender 2 recebe R $   100,00 e assim ssuccessivamente.

Assim, as vendas (x) influenciam quanto vai ser acrescentado ao salario final: 50 .

O vendedor também recebe uma parte fixa R $   1.200,00 que é o valor correspondente ao nosso b.

Passo 3

Então, nossa função é:

f x = 50 x + 1200

Podemos ver que se ele não vender nada f 0 , ele recebe a parte fixa. E à medida que ele vai vendendo, ele vai acrescentando uma comissão ao seu salário.

Resposta

f x = 50 x + 1200

Exercício Resolvido #2

Uma pessoa tinha no banco um saldo de R $   450,00 . Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas nota de 50 reais, o novo saldo (y) é dado em função do número (x) de notas retiradas.

  1. Escreva a lei da função que fornece o novo saldo
  2. De quanto é o novo saldo se a pessoa retirar 5 notas de 50 reais?

Passo 1

  1. Em uma função afim, temos:

y = a x + b

B é uma parte fixa é algo que já temos. Nesse caso uma pessoa tinha R $   450,00 , e ao sacar dinheiro ela vai retirando desse valor.

O x é o numero de notas retiradas e a cada retirada é subtraído 50 reais da conta.

Então se a pessoa sacar uma nota, temos:

450 - 50 1 = 400

Se sacar 2 tem:

450 - 50 2 = 350

E assim por diante, logo temos que o valor de 50 reais é o valor que acompanha nossa variável x.

Assim temos que: y = 450 - 50 x

Passo 2

  1. Nesse caso queremos saber o valor final quando temos 5 notas retiradas ou x = 5 . Vamos substituir na lei que encontramos:

y = 450 - 50 x

y = 450 - 50 5

y = 450 - 250

y = 200

Logo, sobrou R $   200,00

Resposta

  1. y = 450 - 50 x
  2. R $   200,00

Exercício Resolvido #3

Um retângulo tem altura 63   m e base x .

  1. Expresse a lei da função que representa a área desse retângulo(y)
  2. Qual a área desse retângulo se sua base é 4 m

Passo 1

a) Vamos lembrar que a área de um retângulo é: á r e a = a l t u r a × b a s e

Agora é só substituir as informações dadas no enunciado:

á r e a = y

b a s e = x

a l t u r a =     63

Assim,

á r e a = a l t u r a × b a s e

y = 63 x

Passo 2

b) Nesse caso queremos saber a área quando temos a base de 4   m ou x = 4 . Vamos substituir na lei que encontramos:

y = 63 x

y = 63 ( 4 )

y = 252

Logo temos uma área de 252   m 2

Resposta

  1. y = 63 x
  2. 252   m 2

Exercício Resolvido #4

Determine o número real tal que sua metade menos sua quinta parte é -6.

Passo 1

Nesse caso, para resolver nós queremos encontrar um valor X especifico. Assim, vamos usar as ideias de equações.

Então chamaremos o número real que queremos encontrar de x.

A metade de um número é dividi-lo por 2, assim a metade desse número é

x 2

A quinta parte é pegar o número e dividir por 5:

x 5

Passo 2

O enunciado disse que a metade menos a quinta parte é igual a - 6 , assim temos:

x 2 - x 5 = - 6

Agora que montamos nossa equação é só resolver, fazendo o m.m.c. temos:

5 x - 2 x 10 = - 6

Resolvendo:

5 x - 2 x = - 6 × 10

3 x = - 60

x = - 60 3

x = - 20

Resposta

x = - 20

Exercício Resolvido #5

Divida R $     987,00 entre Paulo e César de modo que Paulo receba 3 4 do que César receber. Quanto cada um recebeu ?

Passo 1

Sabemos que se juntarmos o dinheiro que Paulo e César ganharam, temos R $   987,00 .

Vamos chamar x o valor recebido por Paulo. E y o valor recebido por César. Temos que:

x + y = 987

Porém, Paulo recebeu 3 4 do valor que César recebeu (y). Assim, o valor de Paulo pode ser escrito:

x = 3 4 y

Assim, podemos escrever nossa primeira equaçãozinha como:

3 4 y + y = 987

Passo 2

Resolvendo essa equação, temos:

3 4 y + y = 987

Fazendo m.m.c.:

3 y + 4 y 4 = 987

7 4 y = 987

Calculando:

7 y = 987 × ( 4 )

7 y = 3948

y = 564

Assim, César recebeu R $   564,00 .

E Paulo recebeu:

x + y = 987

x + 564 = 987

y = 423

Resposta

Paulo: R $   423 , 00

César: R $   564,00

Exercício Resolvido #6

Fernando costuma ser exigente com os resultados escolares de seus filhos. A fim de estimular o bom desempenho ele bolou uma forma de mesada, na qual cada um recebe fixo um valor de R $   20,00 mais a média das suas notas multiplicada por 10.

  1. Expresse a lei da função representada pelo valor (y) da mesada, com relação à média (x) das notas escolares.
  2. Sabendo que as médias variam de 0   á 10 , qual o valor máximo que poderão receber em uma mesada?

Passo 1

  1. Sabemos que uma função assim é representada por
  2. y = a x + b

    Onde b é uma parte fixa, assim como os R $   20,00 que os filhos de Fernando recebem.

    E temos que a média x é acrescentada a esse valor multiplicada por 10, assim nossa função é:

    y = 20 + 10 x

    Note que se ele for com média 0, ele ainda recebe o valor fixo.

    Passo 3

  3. A nota máxima que pode ser tirada é 10, assim vamos calcular o valor de f 10 ou x = 10 .

Assim, vamos substituir na lei que encontramos:

y = 20 + 10 x

y = 20 + 10 10

y = 120 Assim, o máximo que poderão receber é R $   120,00 .

Resposta

  1. y = 20 + 10 x
  2. R $   120,00

Exercício Resolvido #7

Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B

  • O plano A cobra R $   100,00 de inscrição e R $   50,00 por consulta num certo período.
  • O plano B cobra R $   180,00 de inscrição e R $   40,00 por consulta no mesmo período.

O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas.

Determine:

  1. A equação da função correspondente a cada plano
  2. Em que condições podemos afirmar que os dois planos são equivalentes no valor gasto

Passo 1

  1. Plano A:Temos uma parte fixa de R $   100,00 e a cada consulta é acrescentado e R $   50,00 .
  2. Assim, a função que corresponde ao plano A é:

    f x = 100 + 50 x

    Plano B:Agora nossa parte fixa é R $   1 8 0,00 e a cada consulta é acrescentado R $   4 0,00 .

    f x = 180 + 4 0 x

    Passo 2

  3. Para descobrir quando eles são equivalentes, vamos igualar as nossas duas equaçãozinhas:

100 + 50 x = 180 + 40 x

Resolvendo: 50 x - 40 x = 180 - 100

10 x = 80

x = 8

Depois de 8 consultas, o valor gasto terá sido igual.

Resposta

  1. Plano A: f x = 100 + 50 x
  2. Plano B: f x = 180 + 40 x

  3. 8 consultas

Exercício Resolvido #8

Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando-se esse dado, pede-se:

  1. A equação que representa o número de pães fabricados ( p ) em função do tempo ( t ) .
  2. O número de pães fabricados em 3 horas e 30 minutos

Passo 1

  1. Temos que é fabricado 300 pães por hora, ou seja:Com 1 hora é fabricado 300 × 1 = 300 .

Com 2 horas são fabricado 300 × 2 = 6 00

Ou seja, nada mais é do que:

p = 300 × t

Ou,

p = 300 t

Passo 2

  1. Precisamos passar essas 3 horas e 30 minutos totalmente para a unidade horas

Para isso vamos usar uma regra de 3

1   h o r a       =           60   m i n u t o s

Y   h o r a s       =         30   m i n u t o s

Multiplicando cruzado, temos:

60 × y = 30 × 1

60 y = 30

y = 1 2 = 0,5

Assim, 3 horas e 30 minutos é o mesmo que dizer 3,5   horas.

Agora, vamos substituir t = 3,5   na equação que encontramos:

p = 300 t

p = 300 × 3,5 = 1050

Ou seja, foram produzidos 1050 pães.

Resposta

  1. p = 300 t
  2. 1050 pães