Problemas com Funções do 1º Grau

Teoria Completa

Introdução

Anteriormente, vimos o que é e como se conforta uma função de 1º grau.

Mas será que essas funções são capazes de modelar situações do cotidiano?

Olhe esse exemplo:

Imagine que você precisa pegar um táxi do aeroporto até sua casa...

O preço da bandeira (valor inicial da corrida) é de 6,00 reais e é cobrado 2,00 reais a cada quilômetro percorrido.

O valor da bandeira nunca é alterado, porém a quantidade de quilômetros percorridos resultará no valor final da corrida.

Sendo assim, o valor da corrida varia conforme a distância varia. Podemos chamar a distância percorrida de x e escrever a função:

f x = 2 x + 6

Sendo,

f ( x ) → O valor total da corrida.

x → A variável independente.

6 → O valor da bandeira.

Montando o Gráfico

Atribuindo valores para x podemos montar uma tabela e compreender melhor o comportamento dessa função:

E o gráfico fica assim:

Equações do 1º Grau

O próximo passo depois de se familiarizar com as funções é estudar as equações.

Mas o que são equações do 1º grau e o que muda em relação às funções???

Nas funções o x se comporta como uma variável independente, ou seja, conforme o valor de x muda, o valor de f ( x ) também muda.

Já na equação, o x irá se comportar como uma incógnita, ou seja, ela terá um valor específico para x que não irá se alterar.

Vamos ver um exemplo...

Resolva a equação abaixo:

5 X - 4 = X + 12

Deixando X de um lado e números do outro teremos:

5 X - X = 12 + 4

4 X = 16

X = 16 4

X = 4

Nessa equação X tem um valor específico ( X = 4 ) .

Percebeu a diferença!?

Beleza... Mas por que as equações são tão importante para resolver problemas?

Em muitos casos, os problemas iram pedir um valor específico de X e você só será capaz de encontrar a partir de uma equação.

Problema Prático

A diferença de idade entre dois meninos é de 12 anos, sabendo que dois anos atrás o menino mais velho tinha 4 vezes a idade do mais novo, determine a idade atual do menino mais velho.

Vamos chamar a idade do menino mais velho de X .

Há dois anos atrás a sua idade era quatro vezes maior que a do menino mais novo, portanto, temos que:

X = X 4

Também sabemos que a diferença de idade entre eles é de 12 anos, logo:

X - X 4 = 12

E está pronto nossa equação.

Resolvendo-a, poderemos encontrar a idade que o menino mais velho a dois anos atrás

4 X - X 4 = 1 2

4 X - X = 12 ∙ 4

3 X = 48

X = 48 3

X = 1 6

Como se passaram dois anos, somamos essa idade ao valor encontrado anteriormente:

X = 16 + 2

X = 18

E assim, achamos que a idade atual do menino mais velho é 18 anos.

A equação aqui foi necessária para achar um valor específico de X , que neste caso foi a idade atual do menino.

Viu como as funções e as equações andam lado a lado nas resoluções desses problemas!?

Agora que já vimos como lidar e resolver esses problemas, que tal praticarmos um pouco?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Certo vendedor tem um salário composto de uma parte fixa de R $   1.200,00 e a cada venda é acrescentado R $   50,00 . Qual a função que representa o salário desse vendedor com relação ao número de vendas realizadas?

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Passo 1

O salário é composto de uma parte fixa e uma parte variável. Em uma função do primeiro grau temos

f ( x ) = a x + b

Podemos ver que o b é fixo, ele sempre vai assumir o mesmo valor, porém o valor de x fica variando.

Passo 2

Olhando novamente para o nosso vendedor

Podemos ver que x é o número de vendas que ele realiza durante o mês, ele pode vender 1, 2, 3,4...

E cada venda ele recebe

R $   50,00

Ou seja, se ele vender um, ele recebe apenas R $   50,00 , se vender 2 recebe R $   100,00 e assim ssuccessivamente.

Assim, as vendas (x) influenciam quanto vai ser acrescentado ao salario final: 50 .

O vendedor também recebe uma parte fixa R $   1.200,00 que é o valor correspondente ao nosso b.

Passo 3

Então, nossa função é:

f x = 50 x + 1200

Podemos ver que se ele não vender nada f 0 , ele recebe a parte fixa. E à medida que ele vai vendendo, ele vai acrescentando uma comissão ao seu salário.

Resposta

f x = 50 x + 1200

Exercício Resolvido #2

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática -9°ano.  São Paulo, SP: Ática, 2009. pp.92

Uma pessoa tinha no banco um saldo de R $   450,00 . Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas nota de 50 reais, o novo saldo (y) é dado em função do número (x) de notas retiradas.

  1. Escreva a lei da função que fornece o novo saldo
  2. De quanto é o novo saldo se a pessoa retirar 5 notas de 50 reais?
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Passo 1

  1. Em uma função afim, temos:

y = a x + b

B é uma parte fixa é algo que já temos. Nesse caso uma pessoa tinha R $   450,00 , e ao sacar dinheiro ela vai retirando desse valor.

O x é o numero de notas retiradas e a cada retirada é subtraído 50 reais da conta.

Então se a pessoa sacar uma nota, temos:

450 - 50 1 = 400

Se sacar 2 tem:

450 - 50 2 = 350

E assim por diante, logo temos que o valor de 50 reais é o valor que acompanha nossa variável x.

Assim temos que: y = 450 - 50 x

Passo 2

  1. Nesse caso queremos saber o valor final quando temos 5 notas retiradas ou x = 5 . Vamos substituir na lei que encontramos:

y = 450 - 50 x

y = 450 - 50 5

y = 450 - 250

y = 200

Logo, sobrou R $   200,00

Resposta

  1. y = 450 - 50 x
  2. R $   200,00

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Um retângulo tem altura 63   m e base x .

  1. Expresse a lei da função que representa a área desse retângulo(y)
  2. Qual a área desses triangula se sua base é 4 m
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Passo 1

  1. Vamos lembrar que a área de um retângulo é: á r e a = a l t u r a × b a s e
  2. Agora é só substituir as informações dadas no enunciado:

    á r e a = y

    b a s e = x

    a l t u r a =     63

    Assim,

    á r e a = a l t u r a × b a s e

    y = 63 x

    Passo 2

  3. Nesse caso queremos saber a área quando temos a base de 4   m ou x = 4 . Vamos substituir na lei que encontramos:

y = 63 x

y = 63 ( 4 )

y = 252

Logo temos uma área de 252   m 2

Resposta

  1. y = 63 x
  2. 252   m 2

Exercício Resolvido #4

IEZZI, Gelson; et al. Matemática- Volume único. ED. Renovada. São Paulo, SP: atual, 1997. pp.40

Determine o número real tal que sua metade menos sua quinta parte é -6.

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Passo 1

Nesse caso, para resolver nós queremos encontrar um valor X especifico. Assim, vamos usar as ideias de equações.

Então chamaremos o número real que queremos encontrar de x.

A metade de um número é dividi-lo por 2, assim a metade desse número é

x 2

A quinta parte é pegar o número e dividir por 5:

x 5

Passo 2

O enunciado disse que a metade menos a quinta parte é igual a - 6 , assim temos:

x 2 - x 5 = - 6

Agora que montamos nossa equação é só resolver, fazendo o m.m.c. temos:

5 x - 2 x 10 = - 6

Resolvendo:

5 x - 2 x = - 6 × 10

3 x = - 60

x = - 60 3

x = - 20

Resposta

x = - 20

Exercício Resolvido #5

IEZZI, Gelson; et al. Matemática- Volume único. ED. Renovada. São Paulo, SP: atual, 1997. pp.40 (Adaptado)

Divida R $     987,00 entre Paulo e César de modo que Paulo receba 3 4 do que César receber. Quanto cada um recebeu ?

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Passo 1

Sabemos que se juntarmos o dinheiro que Paulo e César ganharam, temos R $   987,00 .

Vamos chamar x o valor recebido por Paulo. E y o valor recebido por César. Temos que:

x + y = 987

Porém, Paulo recebeu 3 4 do valor que César recebeu (y). Assim, o valor de Paulo pode ser escrito:

x = 3 4 y

Assim, podemos escrever nossa primeira equaçãozinha como:

3 4 y + y = 987

Passo 2

Resolvendo essa equação, temos:

3 4 y + y = 987

Fazendo m.m.c.:

3 y + 4 y 4 = 987

7 4 y = 987

Calculando:

7 y = 987 × ( 4 )

7 y = 3948

y = 564

Assim, César recebeu R $   564,00 .

E Paulo recebeu:

x + y = 987

x + 564 = 987

y = 423

Resposta

Paulo: R $   423 , 00

César: R $   564,00

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Fernando costuma a ser exigente com os resultados escolares de seus filhos. A fim de estimular o bom desempenho ele bolou uma forma de mesada, na qual cada um recebe fixo um valor de R $   20,00 mais a média das suas notas multiplicada por 10.

  1. Expresse a lei da função representada pelo valor (y) da mesada, com relação à média (x) das notas escolares.
  2. Sabendo que as médias variam de 0   á 10 , qual o valor máximo que poderão receber em uma mesada?
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Passo 1

  1. Sabemos que uma função assim é representada por
  2. y = a x + b

    Onde b é uma parte fixa, assim como os R $   20,00 que os filhos de Fernando recebem.

    E temos que a média x é acrescentada a esse valor multiplicada por 10, assim nossa função é:

    y = 20 + 10 x

    Note que se ele for com média 0, ele ainda recebe o valor fixo.

    Passo 3

  3. A nota máxima que pode ser tirada é 10, assim vamos calcular o valor de f 10 ou x = 10 .

Assim, vamos substituir na lei que encontramos:

y = 20 + 10 x

y = 20 + 10 10

y = 120 Assim, o máximo que poderão receber é R $   120,00 .

Resposta

  1. y = 20 + 10 x
  2. R $   120,00

Exercício Resolvido #7

DANTE, Luiz Roberto. Matemática- contexto e aplicações. ED. Renovada. São Paulo, SP: ática, 2010. pp.115 (Adaptado)

Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B

  • O plano A cobra R $   100,00 de inscrição e R $   50,00 por consulta num certo período.
  • O plano B cobra R $   180,00 de inscrição e