Funções do 1º Grau

Teoria Completa

Introdução

Falaaa meus queridos, tudo certo!?

Nesse tópico vamos entender melhor o que é um Função do 1º Grau e como ela se comporta graficamente.

Mas antes de falar disso precisamos nos fazer uma perguntar:

“O que é uma função?”

Na maioria das vezes, a primeira coisa vem na nossa cabeça quando falamos de funções são aquelas notações comuns:

f x = 3 x + 2

g x = 8 x 2 + 3 x

h x = 5 x 3 + 2 x 2 + 5

Mas o que realmente significa ser uma função?

Para responder isso vamos dizer que uma função “ g ” é dada por g x = 2 x + 1 .

Quando escrevemos g ( x ) queremos dizer que a função “ g ” varia conforme o valor de “ x ” também varia.

Ou seja, para x = 1 , a função será:

g 1 = 2 ∙ 1 + 1

g 1 = 2 + 1

g 1 = 3

Para x = 2 :

g 2 = 2 ∙ 2 + 1

g 2 = 4 + 1

g 2 = 5

E assim por diante...

Percebeu? Conforme os valores de “ x ” mudam, o valor da g ( x ) também muda, logo g está em função de “ x ”.

Função do 1º Grau ou Função Afim

Já demos uma relembrada nos conceitos de funções.

Mas como identificar uma função do 1º grau?

A lei de formação é dada por:

y = a x + b

Onde:

a → coeficiente angular.

b → coeficiente linear.

Obs: y é o mesmo que f ( x ) ,   g ( x ) , h ( x ) ...

QUE??????

Relaaxa!!

Com um exemplo tudo fica mais fácil...

Olhe essa função:

f x = 3 x + 2

Nesse caso:

y = f x ;

a = 3 ;

b = 2 .

Ok, mas pra que serve esses coeficientes?

Eles são importantes quando queremos estudar o comportamento gráfico das funções.

Gráfico da Função do 1º Grau

Grave isso:

“O gráfico de uma função afim sempre será um RETA!!!”

E agora, os valores de a e de b serão muito úteis para entendermos esses gráficos.

a (coeficiente angular) – Será a inclinação da reta.

b (coeficiente linear) – Será o valor em que a função cruza o eixo y .

Mas como eu consigo montar um gráfico de uma função afim?

Como o gráfico da função afim é uma reta, basta que nós encontremos dois pontos por onde a reta passa e traçar a reta passando por eles.

Exemplo

Vamos esboçar o gráfico da função f x = 3 x + 2 .

Primeiramente, precisamos achar dois pontos que pertençam à reta.

Esses pontos podem ser encontrados substituindo qualquer valor para x , porém, para facilitar os cálculos, podemos escolher x = 0 e x = 1 .

Para f ( 0 ) , temos:

f 0 = 3 ∙ 0 + 2

f 0 = 0 + 2

f 0 = 2

Para f ( 1 ) , temos:

f 1 = 3 ∙ 1 + 2

f 1 = 3 + 2

f 1 = 5

Desse modo, encontramos dois pontos que pertencem à reta, dados pelos pares ordenados P ( 0,2 ) e P ( 1,5 ) :

Por fim, como já temos dois pontos por onde a reta passa, precisamos apenas traça-la passando por esses dois pontos:

E está feito nosso gráfico da função f x = 3 x + 2 .

Raiz de uma Função do 1º Grau

Em uma reta que se estende por todos os reais R , o eixo y terá em algum momento valor igual a zero.

Esse ponto ocorre graficamente quando a reta cruza o eixo x .

Mas como achar o valor da raiz?

Em uma reta f x = a x + b , f ( x ) representa o eixo y .

Dessa forma, se acharmos um valor de x que faça com que f x = 0 , esse será a raiz da função.

Exemplo: Encontre a raiz da função f x = 3 x + 9

Primeiramente, igualamos a função a zero.

3 x + 9 = 0

Agora é só resolver...

3 x = - 9

x = - 9 3

x = - 3

E está aí, a reta cruza o eixo x em x = - 3 , logo, x = - 3 é a raiz da função.

Tranquilasso né!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Determine o coeficiente linear da função f x = 3 x - 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pela lei de formação, temos que:

y = a x + b

Onde:

a → Coeficiente angular.

b → Coeficiente linear.

Sendo assim na função f x = 3 x - 2

a = 3

b = - 2

Resposta

- 2 .

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Encontre a raiz da função g x = 3 x - 21

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, devemos igualar a equação a zero.

3 x - 21 = 0

Resolvendo a equação, temos:

3 x - 21 = 0

3 x = 21

x = 21 3

x = 7

Resposta

x = 7 .

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Qual é o valor da função f x = 12 x + 17 para x = 1 2 .

a) 21

b) 17

c) 25

d) 23

e) 19

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Passo 1

Tudo que precisamos fazer aqui é substituir o valor de x na função.

f 1 2 = 12 x + 17

f 1 2 = 12 ∙ 1 2 + 17

f 1 2 = 6 + 17

f 1 2 = 23

Resposta

Alternativa d).

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Determine a função afim f ( x ) = a x + b , sabendo que f 2 = 6 e f - 1 = 0

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Passo 1

Pelo enunciado, temos que f 2 = 6 , logo:

2 a + b = 6

Também sabemos que f - 1 = 0 , logo:

- a + b = 0

Como chegamos em duas equações com termos iguais, podemos montar um sistema.

2 a + b = 6 - a + b = 0

Isolando b na segunda equação, temos:

- a + b = 0

b = a

Passo 2

Substituindo o valor encontrado na primeira equação, conseguimos achar o valor de a .

2 a + b = 6

2 a + a = 6

3 a = 6

a = 6 3

a = 2

Como a = b , o valor de b também será igual a 2 .

Com os valores de a e b conseguimos determinar a função.

f x = 2 x + 2

Resposta

f x = 2 x + 2 .

Exercício Resolvido #5

(U. Católica de Salvador-BA).

Seja a função f de R em R definida por f x = 54 x + 45 , determine o valor de f 2.541 - f ( 2.540 ) .

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Passo 1

Você pode encontrar esse resultado de duas maneiras.

1º Caso

Substituindo os valores em x e depois subtraindo:

X = f 2.541 - f ( 2.540 )

X = 54 ∙ 2.541 + 45 - ( 54 ∙ 2.540 + 45 )

X = 137.259 - ( 137.205 )

X = 54

Passo 2

2º Caso

Podemos pensar que f ( 2.541 ) é uma unidade maior que f ( 2.540 ) .

Sendo assim, não importa quais valores pegarmos, desde que q tenham a mesma proporção.

Exemplo:

f 1.000 - f ( 999 )

f 436 - f ( 435 )

f 38 - f ( 37 )

Para facilitar as contas podemos escolher x = 1 e x = 0 , e assim teremos:

X = 54 ∙ 1 + 45 - 54 ∙ 0 + 45