Funções do 1º Grau

Teoria Completa

Introdução

Falaaa meus queridos, tudo certo!?

Nesse tópico vamos entender melhor o que é uma Função do 1º Grau e como ela se comporta graficamente.

Mas antes de falar disso precisamos nos fazer uma perguntar:

“O que é uma função?”

Na maioria das vezes, a primeira coisa que vem na nossa cabeça quando falamos de funções são aquelas notações comuns:

f x = 3 x + 2

g x = 8 x 2 + 3 x

h x = 5 x 3 + 2 x 2 + 5

Mas o que realmente significa ser uma função?

Para responder isso vamos dizer que uma função “ g ” é dada por g x = 2 x + 1 .

Quando escrevemos g ( x ) queremos dizer que a função “ g ” varia conforme o valor de “ x ” também varia.

Ou seja, para x = 1 , a função será:

g 1 = 2 ∙ 1 + 1

g 1 = 2 + 1

g 1 = 3

Para x = 2 :

g 2 = 2 ∙ 2 + 1

g 2 = 4 + 1

g 2 = 5

E assim por diante...

Percebeu? Conforme os valores de “ x ” mudam, o valor da g ( x ) também muda, logo g está em função de “ x ”.

Função do 1º Grau ou Função Afim

Já demos uma relembrada nos conceitos de funções.

Mas como identificar uma função do 1º grau?

A lei de formação é dada por:

y = a x + b

Onde:

a → coeficiente angular.

b → coeficiente linear.

Obs: y é o mesmo que f ( x ) ,   g ( x ) , h ( x ) ...

QUE??????

Relaaxa!!

Com um exemplo tudo fica mais fácil...

Olhe essa função:

f x = 3 x + 2

Nesse caso:

y = f x ;

a = 3 ;

b = 2 .

Ok, mas pra que serve esses coeficientes?

Eles são importantes quando queremos estudar o comportamento gráfico das funções.

Gráfico da Função do 1º Grau

Grave isso:

“O gráfico de uma função afim sempre será um RETA!!!”

E agora, os valores de a e de b serão muito úteis para entendermos esses gráficos.

a (coeficiente angular) – Será a inclinação da reta.

b (coeficiente linear) – Será o valor em que a função cruza o eixo y .

Mas como eu consigo montar um gráfico de uma função afim?

Como o gráfico da função afim é uma reta, basta que nós encontremos dois pontos por onde a reta passa e traçar a reta passando por eles.

Exemplo

Vamos esboçar o gráfico da função f x = 3 x + 2 .

Primeiramente, precisamos achar dois pontos que pertençam à reta.

Esses pontos podem ser encontrados substituindo qualquer valor para x , porém, para facilitar os cálculos, podemos escolher x = 0 e x = 1 .

Para f ( 0 ) , temos:

f 0 = 3 ∙ 0 + 2

f 0 = 0 + 2

f 0 = 2

Para f ( 1 ) , temos:

f 1 = 3 ∙ 1 + 2

f 1 = 3 + 2

f 1 = 5

Desse modo, encontramos dois pontos que pertencem à reta, dados pelos pares ordenados P ( 0,2 ) e P ( 1,5 ) :

Por fim, como já temos dois pontos por onde a reta passa, precisamos apenas traça-la passando por esses dois pontos:

E está feito nosso gráfico da função f x = 3 x + 2 .

Raiz de uma Função do 1º Grau

Em uma reta que se estende por todos os reais R , o eixo y terá em algum momento valor igual a zero.

Esse ponto ocorre graficamente quando a reta cruza o eixo x .

Mas como achar o valor da raiz?

Em uma reta f x = a x + b , f ( x ) representa o eixo y .

Dessa forma, se acharmos um valor de x que faça com que f x = 0 , esse será a raiz da função.

Exemplo: Encontre a raiz da função f x = 3 x + 9

Primeiramente, igualamos a função a zero.

3 x + 9 = 0

Agora é só resolver...

3 x = - 9

x = - 9 3

x = - 3

E está aí, a reta cruza o eixo x em x = - 3 , logo, x = - 3 é a raiz da função.

Tranquilasso né!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Determine o coeficiente linear da função f x = 3 x - 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pela lei de formação, temos que:

y = a x + b

Onde:

a → Coeficiente angular.

b → Coeficiente linear.

Sendo assim na função f x = 3 x - 2

a = 3

b = - 2

Resposta

- 2 .

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Encontre a raiz da função g x = 3 x - 21

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, devemos igualar a equação a zero.

3 x - 21 = 0

Resolvendo a equação, temos:

3 x - 21 = 0

3 x = 21

x = 21 3

x = 7

Resposta

x = 7 .

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Qual é o valor da função f x = 12 x + 17 para x = 1 2 .

a) 21

b) 17

c) 25

d) 23

e) 19

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tudo que precisamos fazer aqui é substituir o valor de x na função.

f 1 2 = 12 x + 17

f 1 2 = 12 ∙ 1 2 + 17

f 1 2 = 6 + 17

f 1 2 = 23

Resposta

Alternativa d).

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Determine a função afim f ( x ) = a x + b , sabendo que f 2 = 6 e f - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pelo enunciado, temos que f 2 = 6 , logo:

2 a + b = 6

Também sabemos que f - 1 = 0 , logo:

- a + b = 0

Como chegamos em duas equações com termos iguais, podemos montar um sistema.

2 a + b = 6 - a + b = 0

Isolando b na segunda equação, temos:

- a + b = 0

b = a

Passo 2

Substituindo o valor encontrado na primeira equação, conseguimos achar o valor de a .

2 a + b = 6

2 a + a = 6

3 a = 6

a = 6 3

a = 2

Como a = b , o valor de b também será igual a 2 .

Com os valores de a e b conseguimos determinar a função.

f x = 2 x + 2

Resposta

f x = 2 x + 2 .

Exercício Resolvido #5

(U. Católica de Salvador-BA).

Seja a função f de R em R definida por f x = 54 x + 45 , determine o valor de f 2.541 - f ( 2.540 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Você pode encontrar esse resultado de duas maneiras.

1º Caso

Substituindo os valores em x e depois subtraindo:

X = f 2.541 - f ( 2.540 )

X = 54 ∙ 2.541 + 45 - ( 54 ∙ 2.540 + 45 )

X = 137.259 - ( 137.205 )

X = 54

Passo 2

2º Caso

Podemos pensar que f ( 2.541 ) é uma unidade maior que f ( 2.540 ) .

Sendo assim, não importa quais valores pegarmos, desde que q tenham a mesma proporção.

Exemplo:

f 1.000 - f ( 999 )

f 436 - f ( 435 )

f 38 - f ( 37 )

Para facilitar as contas podemos escolher x = 1 e x = 0 , e assim teremos:

X = 54 ∙ 1 + 45 - 54 ∙ 0 + 45

X = 54 + 45 - ( 45 )

X = 54

Resposta

54 .

Exercício Resolvido #6

(U. F. Viçosa-MG).

Uma função f é dada por f x = a x + b , em que a e b são números reais. Se f - 1 = 3 e f 1 = - 1 , determine o valor de f ( 3 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para f ( - 1 ) a função vale 3 . Logo:

- a + b = 3

Para f ( 1 ) a função vale - 1 . Logo:

a + b = - 1

Como temos termos semelhantes, podemos montar um sistema de equações e descobrir os valores de a e b .

- a + b = 3 a + b = - 1

Isolando a na segunda equação temos:

a + b = - 1

a = - 1 - b

Substituindo na primeira equação, conseguimos encontrar o valor de b .

- a + b = 3

- - 1 - b + b = 3

CUIDADO COM O SINAL!!!

1 + b + b = 3

2 b = 3 - 1

2 b = 2

b = 2 2

b = 1

Substituindo o valor de b na segunda equação, conseguimos achar o valo de a .

a + b = - 1

a + 1 = - 1

a = - 1 - 1

a = - 2

Passo 2

Com os valores de a e b encontrados, podemos definir a função.

f x = - 2 x + 1

Para x = 3 , temos:

f 3 = - 2 ∙ ( 3 ) + 1

f 3 = - 6 + 1

f 3 = - 5

Resposta

f 3 = - 5 .

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria.

Esboce os seguintes gráficos:

  1. f x = 1 2 x
  2. f x = - 2 x + 5
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

f x = 1 2 x

Para montar o gráfico de uma função afim, precisamos de 2 pontos para formar uma reta. Ou seja, escolhemos 2 valores para x e descobrimos o valor de f x .

f x = 1 2 x

Note que b = 0 , mas mesmo assim continuamos tendo uma função afim.

Vamos agora escolher dois valores de x .

Para x = 0 :

f 0 = 1 2 0

f 0 = 0

Para x = 2 :

f 1 = 1 2 2

f 1 = 1

Assim, os pontos ( 0 ,   0 ) e 2 ,   1 pertencem a nossa reta:

Agora é só traçar a reta que contém esses dois pontos:

Pronto esse é o nosso gráfico.

Passo 2

b)

f x = - 2 x + 5

Novamente, vamos pegar dois valores de x e calcularemos f ( x ) para esses valores:

Para x = 0 :

f 0 = - 2 0 + 5

f 0 = 5

Para x = 1 :

f 1 = - 2 1 + 5

f 1 = - 2 + 5

f 1 = 3

Assim, temos os pontos ( 0 ,   5 ) e ( 1 ,   3 ) :

Agora, traçando a reta, temos que nosso gráfico é:

Resposta

a)

b)

Exercício Resolvido #8

DANTE, Luiz Roberto. Matemática- contexto e aplicações. ED. Renovada. São Paulo, SP: ática, 2010. pp.121

Determine o valor de m para que os gráficos da função f x = 2 x + m - 3 :

  1. Intersecte o eixo y no ponto ( 0,5 ) ;
  2. Intersecte o eixo x no ponto ( 3,0 ) ;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Vamos relembrar que numa função afim, temos: y = a x + b
  2. Na qual b é o coeficiente linear, ou seja, o valor que intercepta o eixo y no nosso gráfico.

    Nesse casso queremos que intercepte no valor

    ( 0,5 )

    x = 0   e y = 5

    Assim queremos que b = 5

    Na nossa funçãozinha temos :

    f x = 2 x + m - 3

    Nosso coeficiente linear nesse caso é :

    b = m - 3 = 5

    m - 3 = 5

    m = 5 + 3

    m = 8

    Assim, para que intercepte o eixo y m = 8

    Passo 2

  3. Em um par ordenado, temos :

x , y

O primeiro valor corresponde ao valor de x e o segundo de y.

Feito isso, queremos:

( 3,0 )

O valor de x = 3 e y = 0

Vamos substituir esse valor na nossa funçãozinha:

f x = 2 x + m - 3

Lembrando que f x = y

y = 2 x + m - 3

0 = 2 3 + m - 3

0 = 6 - 3 + m

0 = 3 + m

m = - 3

Resposta

  1. m = 8
  2. m = - 3

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