Binômio de Newton

Resumo

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Quando estudamos polinômios, aprendemos bastante sobre produtos notáveis e fatoração, e quem aprende bem isso vai se dar bem quando tiver que resolver equações do segundo grau, e ao invés de aplicar a fórmula de Bhaskara utilizar produtos notáveis, te garanto que te poupa muito trabalho! Mas nessa página estaremos interessados em entender como utilizar o método do binômio de newton para descobrir a expansão de binômios.

Vamos pensar na seguinte situação, imagine que precisamos descobrir a expansão do polinômio:

$$(a+b)^5$$

Primeira coisa que eu pensaria seria fazer chuveirinho para todos esses termos:

$$(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)$$

Mas ia dar um trabalho terrível! Então, para facilitar nossa vida podemos utilizar o conceito do binômio de newton. Ele serve exatamente para calcular potências de um binômio. No nosso exemplo estamos trabalhando com o binômio $(a+b)$ e com a potência $5$. Então vamos ver como utilizaríamos o binômio de newton para achar o resultado de $(a+b)^5$.

A fórmula do binômio de newton é a seguinte:

Então no nosso caso teríamos que calcular:

$$(a+b)^5=T_1+T_2+T_3+T_4+T_5+T_6$$

Onde cada $T_n$ seria um termo com a carinha da imagem ali em cima. Parece complicado, mas vamos ver nesse exemplo que o processo é bem simples. Vamos começar focando apenas no calculo das potências de $a$ e $b$, ignorando as combinações:

$$(a+b)^5=\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}a^5b^0+ \begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix}a^4b^1+ \begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}a^3b^2+ \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}a^2b^3+ \begin{pmatrix} 5\\4\end{pmatrix}a^1b^4+ \begin{pmatrix} 5\\5\end{pmatrix}a^0b^5$$

Então esquecendo as combinações, repare que as potências formam uma "escadinha", enquanto uma vai subindo de um em um a outra vai descendo de um em um. Variando entre 0 até 5 no nesse caso.

Vamos agora calcular as combinações. Podemos lembrar que a fórmula de combinação é:

$$\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Fazendo as contas temos que:

$$\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\5\end{pmatrix}=1$$
$$\begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\4\end{pmatrix}=5$$
$$\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}=10$$

Logo, nossa expansão de $(a+b)^5$, é:

$$(a+b)^5=1×a^5b^0+ 5×a^4b^1+ 10×a^3b^2+ 10×a^2b^3+ 5×a^1b^4+ 1×a^0b^5$$

Que é o mesmo que:

$$(a+b)^5=a^5+ 5a^4b^1+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3+ 5a^1b^4+ b^5$$

E prontinho! O binômio de newton sempre pode ser utilizado nas situações que precisamos calcular potências de binômios.

PS: Se quiser ficar craque nessas combinações e não ter que ficar calculando elas o tempo todo, da uma conferida nessa página que fala sobre o triângulo de pascal, facilita muito o cálculo das combinações!

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