Demonstrações

Teoria Completa

FAAAAALA AÍ, MEU ANJO! Eu estou tão emocionada com esse momento... é aquele dizer né: “meu bebê está crescendo tão rápido”

Você vai aprender a DEMONSTRAR as paradas!!!

“Ah, mas isso eu nunca vou aprender, isso é pra quem faz Matemática, pra quem quer ser pesquisador!”

Não é, não! Todos podemos e devemos aprender a demonstrar algo, isso faz parte da construção de um raciocínio, é importante pra nossa vida sabermos “juntar os pontos”, criar uma linha de pensamento e tal.

“Mas gente, por que demonstrar? Troço chato.”

O principal motivo é que nossa intuição falha. Às vezes, as coisas seguem um padrão e tudo nos indica que algo vai se comportar de uma forma, mas na verdade não se comporta.

E na história da matemática, diversos exemplos demonstraram e convenceram os matemáticos que só a intuição é insuficiente para compreender os fatos matemáticos. Eu não vou citar aqui, porque tomaria muito tempo! Enfim, mãos à obra!

Métodos de demonstração

Atenção! Em todas as nossas demonstrações a partir de hoje, vamos usar as seguintes definições que usaremos MUITO:

  • Um número inteiro não nulo a divide um número inteiro b se existe um inteiro k , tal que: b = a k . Ou seja, sempre que você se deparar com “ a divide b ” ou “ b é divisível por a ”, significa que b = a k
  • Um número inteiro a é dito par se 2 divide a , ou seja, se existe número inteiro k tal que a = 2 k
  • Um número inteiro b é dito ímpar se 2 não divide b , nesse caso pode-se provar que existe um número inteiro k tal que b = 2 k + 1
  • Um número real r é dito racional se existirem números inteiros p ,   q , com q 0 , tal que r = p q
  • Um número real r é dito irracional se não for racional, ou seja, se não existirem inteiros p ,   q , com q 0 , tal que r = p q

Não se preocupe, parecem muitas, mas com o tempo e o uso, você vai ver que será bem natural.

Método da Demonstração Direta

Bom, é bem como o nome mesmo: bem direta. Você se depara com um pedido de “mostre que” envolvendo um p   q . Daí, é bem direto, através de p , a gente manipula termos até chegar em q . Se liga no exemplo:

M o s t r e   q u e   s e   n ,   m   s ã o   n ú m e r o s   í m p a r e s ,   e n t ã o   m + n   é   p a r .

Cara, na nossa hipótese, temos na verdade duas hipóteses menores:

Hipótese 1 : n é ímpar

Hipótese 2 : m é ímpar

Tese: m + n é par

Anjo, baseado na hipótese 1 , nós podemos escrever:

n = 2 k 1 + 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Baseado na hipótese 2 , nós podemos escrever:

m = 2 k 2 + 1

Onde k 2 é um número inteiro.

Ora, não vamos esquecer do nosso foco, a tese! Queremos dizer que a soma é par, então queremos chegar na seguinte equação: m + n = 2 k . Vamos manipular as equações que já temos e chegar lá:

m + n = 2 k 2 + 1 + 2 k 1 + 1

m + n = 2 k 1 + 2 k 2 + 2

m + n = 2 ( k 1 + k 2 + 1 )

Se chamarmos k 1 + k 2 + 1 = k :

m + n = 2 k

Portanto, a soma é realmente par, como queríamos demonstrar.

Ai gente, eu sempre quis usar esse quadradinho, e agora todos nós podemos! Basta terminar uma demonstração e você pode desenhar esse quadradinho no final.

Método da Demonstração por Redução ao Absurdo

Essa demonstração é muito famosa, também conhecida por demonstração por contradição. Já vou começar com um exemplo:

D e m o n s t r e   q u e   2   é   i r r a c i o n a l

Para demonstrar isso, vamos usar o método da redução ao absurdo. O que a gente faz é justamente tentar provar o contrário disso e chegar numa contradição. Vamos lá!

Começo dizendo que 2 é RACIONAL. Ora, se ele é racional, podemos escrever da seguinte forma:

2 = p q

Com p e q inteiros e q 0 . Elevando ambos os lados ao quadrado:

2 = p 2 q 2

Aqui, nós supomos que p e q não são ambos pares, pois se fossem, a gente poderia simplificar a fração até termos que pelo menos um dos termos da fração seja ímpar. Então, show, grava que os dois NÃO são pares ao mesmo tempo!

Ajeitando os termos:

2 q 2 = p 2

Cara, se p 2 é par (já que ele é o dobro de q 2 ), significa que p é par, então podemos substituir p = 2 l . Concorda comigo?

2 q 2 = 2 l 2

2 q 2 = 4 l 2

q 2 = 2 l 2

Carambolas! Chegamos à conclusão de que q 2 é par, dado que é o dobro de l 2 , e portanto, q é par. Eita ferro! A gente no início supôs que p e q NÃO eram ambos pares, e logo, isso é um absurdo!

Portanto, 2 é irracional, como queríamos demonstrar.

Demonstração por Contraposição

Meu anjinho, o que a gente faz aqui é demonstrar algo equivalente ao que se pede!

Isto é, se pedirem pra você demonstrar algo do tipo p   q , você pode provar uma proposição equivalente a isso, você lembra qual? (Olha eu te testando hahaha)

Você fará a demonstração de n ã o   q   n ã o   p . Se liga no exemplo:

M o s t r e   q u e   s e   n 2 é   í m p a r ,   e n t ã o   n   é   í m p a r

Vamos demonstrar usando o método da contraposição. Nosso caso atual é:

n 2   é   í m p a r   n   é   í m p a r

A contrapositiva será:

n   é   p a r   n 2   é   p a r

Bora provar isso!

Hipótese: n é par

Tese: n 2 é par

Então, a partir da hipótese, vamos tentar chegar na tese. Sabendo que n é par, podemos escrever:

n = 2 k

Onde k é um número inteiro.

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

n 2 = 4 k 2

n 2 = 2 2 k 2

Se chamarmos 2 k 2 = k 1

n 2 = 2 k 1

Isto é, n 2 é par, como queríamos demonstrar.

Perceba que parece que não aquilo que foi pedido pra demonstrar, mas na verdade é! Demonstramos uma proposição que é equivalente!

Demonstração de “se e somente se”

Olha, aqui é vou te mandar a real: é o método direto, só que com duas proposições compostas! Se liga, você vai se deparar com uma demonstração do tipo:

p   q

E aí vamos demonstrar o seguinte:

p   q

q   p

Exemplo:

D o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   p o s s u e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a + b   é   í m p a r

Para provar isso, temos que provar:

  1. S e   a   e   b   p o s s u e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s ,   e n t ã o   a + b   é   í m p a r .
  2. S e   a + b   é   í m p a r ,   e n t ã o   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s .

Vamos começar da implicação 1 :

Hipótese: a e b tem paridades diferentes.

Tese: a + b é ímpar

Baseado na hipótese, podemos dizer que a é par e b é ímpar, ou o contrário, não faz diferença!

a = 2 k 1

b = 2 k 2 + 1

Vamos somar os dois e verificar se a soma é ímpar ou não.

a + b = 2 k 1 + 2 k 2 + 1

a + b = 2 k 1 + k 2 + 1

Chamando k = k 1 + k 2 :

a + b = 2 k + 1

Portanto, a implicação 1 é verdadeira.

Para provar a implicação 2 , vamos usar o método de contraposição. Isto é, ao invés de provarmos “ S e   a + b   é   í m p a r ,   e n t ã o   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s ”, vamos provar:

S e   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   i g u a i s ,   e n t ã o   a + b   é   p a r

Vamos lá. Se a e b tem paridades iguais, isso significa que ambos são pares ou ambos são ímpares.

Caso a e b pares:

a = 2 k 1

b = 2 k 2

a + b = 2 k 1 + 2 k 2

a + b = 2 k 1 + k 2

Chamando k 3 = k 1 + k 2 :

a + b = 2 k 3

Logo, é verdade.

Caso a e b ímpares:

a = 2 k 1 + 1

b = 2 k 2 + 1

a + b = 2 k 1 + 2 k 2 + 2

a + b = 2 k 1 + k 2 + 1

Chamando k 3 = k 1 + k 2 + 1 :

a + b = 2 k 3

Logo, é verdade.

E portanto, as implicações 1   e   2 são verdadeiras, como queríamos demonstrar.

Perceba que nesse método de “se, e somente se”, a gente o desmembra em duas implicações. Para provarmos essas implicações, podemos usar os outros métodos que coloquei aqui, assim como acabei de fazer, usando o método da contraposição.

Bom, meu anjo, é isso! Parte pros exercícios e arrebenta!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Demonstre as seguintes afirmações:

( a ) Se a divide b e a divide c , então a divide b + c .

b Se m e n são números pares, então m + n é par.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

FALAAAAA AÍ! Bom, sem muita conversa, vamos demonstrar essas afirmações, começando do começo:

a   S e   a   d i v i d e   b   e   a   d i v i d e   c ,   e n t ã o   a   d i v i d e   b + c

Vou escolher o método da demonstração direta para fazer estes, ok?

Hipótese 1 : a divide b

Hipótese 2 : a divide c

Tese: a divide b + c

Vamos lá, olhando a hipótese 1 , temos que se a divide b , então podemos escrever o seguinte:

b = a k 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Olhando a hipótese 2 , temos que se a divide c , então podemos escrever o seguinte:

c = a k 2

Onde k 2 é um número inteiro.

Legal, agora vamos focar no que queremos provar: a divide b + c . Então poderíamos escrever que queremos chegar no seguinte:

b + c = a k 3

Onde k 3 é um número inteiro.

Passo 2

Show, dadas as relações que temos das hipóteses 1 e 2 :

b = a k 1

c = a k 2

Somando essas duas equações:

b + c = a k 1 + a k 2

Colocando o a em evidência:

b + c = a ( k 1 + k 2 )

Chamando k 1 + k 2 = k 3 :

b + c = a k 3

Onde k 3 é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.

Passo 3

A próxima diz o seguinte:

b   S e   m   e   n   s ã o   n ú m e r o s   p a r e s ,   e n t ã o   m + n   é   p a r

Bora resolver essa questão linda. Dá uma olhada no que temos:

Hipótese 1 : m é par

Hipótese 2 : n é par

Tese: m + n é par

Baseado na hipótese 1 , temos que se m é par, podemos escrever que:

m = 2 k 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Baseado na hipótese 2 , temos que se n é par, podemos escrever que:

n = 2 k 2

Onde k 2 é um número inteiro.

Agora, vamos focar no que queremos chegar, na tese. Ao dizermos que m + n é par, podemos escrever:

m + n = 2 k 3

Onde k 3 é um número inteiro. É nisso que queremos chegar, foca!!!

Passo 4

Dadas as relações que chegamos através das hipóteses 1 e 2 :

m = 2 k 1

n = 2 k 2

Somando as duas equações:

m + n = 2 k 1 + 2 k 2

Colocando 2 em evidência:

m + n = 2 k 1 + k 2

E tomando k 1 + k 2 = k 3 :

m + n = 2 k 3

Onde k 3 é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.

Resposta

Método de demonstração direta.

Exercício Resolvido #2

Demonstre as seguintes proposições usando o método da redução ao absurdo:

( a ) Não existem soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 .

b Dados a , b e c números inteiros, mostre que se a não divide b c , então a não divide b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olááá, meu anjo! Está indo tudo bem?

Bom, vamos começar do início:

a   N ã o   e x i s t e m   s o l u ç õ e s   i n t e i r a s   e   p o s i t i v a s   p a r a   y 2 - x 2 = 10

Como vamos demonstrar por redução ao absurdo, a primeira coisa que temos que fazer é dizer que EXISTEM soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 e depois chegarmos à conclusão de que isso é um absurdo.

Vamos reescrever essa equação assim:

y 2 - x 2 = 10

y - x y + x = 10

Agora vamos pensar em números que multiplicados dão 10 :

1.10 = 10

- 1 - 10 = 10

2.5 = 10

- 2 - 5 = 10

Vamos testar cada caso!

Passo 2

Se:

y - x = 1 y + x = 10

Então:

y = 11 2 x = 9 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

y - x = - 1 y + x = - 10

Então:

y = - 11 2 x = - 9 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Se:

y - x = 2 y + x = 5

Então:

y = 7 2 x = 3 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

y - x = - 2 y + x = - 5

Então:

y = - 7 2 x = - 3 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Ou seja, todos os nossos testes foram reduzidos ao absurdo. Logo, não existem soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 , como queríamos demonstrar.

Passo 3

Dá uma olhada na próxima:

b   D a d o s   a , b   e   c   n ú m e r o s   i n t e i r o s ,   m o s t r e   q u e   s e   a   n ã o   d i v i d e   b c ,   e n t ã o   a   n ã o   d i v i d e   b

Bom, temos uma proposição composta do tipo:

p   q

Negando isso:

p   e   n ã o   q

Então vamos trabalhar com a seguinte proposição:

D a d o s   a , b   e   c   n ú m e r o   i n t e i r o s ,   a   n ã o   d i v i d e   b c   e   a   d i v i d e   b

Da frase “ a divide b ”, podemos escrever:

b = a k 1

Onde k 1 é número inteiro.

Se multiplicarmos por c em ambos os lados:

b c = a k 1 c

E vou escrever k 1 c = k 2 :

b c = a k 2

MAAAAAAAAAAAS, da frase “ a não divide b c ”, temos que NÃO CONSEGUIMOS ESCREVER:

b c = a k 2

Com k 2 número inteiro.

Portanto, isso é um absurdo.

Resposta

Demonstração por redução ao absurdo.

Exercício Resolvido #3

Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:

( a ) Se x e y são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.

( b ) Se a e b são números reais tais que o produto a b é um número irracional, então ou a ou b deve ser um número irracional.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Oiiiii aluno mais engajado do mundo! Bora demonstrar essas afirmações pelo método de contraposição. Você lembra como é?

É assim, você se depara com uma proposição da forma:

p   q

E o que provaremos é algo que é equivalente a ela, ou seja:

n ã o   q   n ã o   p

Bora ver o primeiro item:

a   S e   x   e   y   s ã o   d o i s   n ú m e r o s   i n t e i r o s   c u j o   p r o d u t o   é   p a r ,  

e n t ã o   p e l o   m e n o s   u m   d o s   d o i s   d e v e   s e r   p a r

A contrapositiva dessa proposição é:

S e   x   e   y   s ã o   i n t e i r o s   í m p a r e s ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   í m p a r

Lembrando que a negação de “pelo menos um dos dois deve ser par” é “nenhum dos dois é par”, ou seja, “os dois são ímpares”.

Então vamos lá, a nossa hipótese é que x e y são inteiros ímpares, isto é, podemos escrevê-los da forma:

x = 2 k 1 + 1

y = 2 k 2 + 1

Onde k 1 e k 2 números são inteiros.

Passo 2

Queremos mostrar que o produto é ímpar, então vamos multiplicar essas duas equações ok?

x y = 2 k 1 + 1 2 k 2 + 1

Realizando as operações:

x y = 4 k 1 k 2 + 2 k 1 + 2 k 2 + 1

x y = 2 2 k 1 k 2 + k 1 + k 2 + 1

Chamando 2 k 1 k 2 + k 1 + k 2 = k 3 :

x y = 2 k 3 + 1

Onde k 3 é um número inteiro.

Portanto, o produto é um número ímpar, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Se liga nessa próxima:

b   S e   a   e   b   s ã o   n ú m e r o s   r e a i s   t a i s   q u e   o   p r o d u t o   a b   é   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l ,

e n t ã o   o u   a   o u   b   d e v e   s e r   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l .

Como fica a contrapositiva dessa proposição? Dá uma olhada:

S e   a   e   b   s ã o   n ú m e r o s   r a c i o n a i s ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   u m   n ú m e r o   r a c i o n a l

Bom, da hipótese podemos escrever que:

a = p q

b = x y

Onde p ,   x ,   y e q são números inteiros, tais que y 0 e q 0

Queremos que o produto a b seja racional, então vamos multiplicar essas duas equações:

a b = p . x q . y

Como são números inteiros, chamaremos p . x = p 1 e q . y = q 1 , onde ambos são inteiros:

a b = p 1 q 1

Portanto, o produto é racional, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método de contraposição.

Exercício Resolvido #4

Demonstre que dados dois inteiros a e b , o produto a b é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, a ou b , for par.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olááá pessoa dedicada! Hahahaha tudo bem?

Bom, aqui precisamos demonstrar essa afirmação! Mas qual método utilizaremos?

Cara, normalmente eu diria pra você seguir o seu coração, entretanto, tem um “se e somente se” ali, então vamos usar esse método, ok?

D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   o   p r o d u t o   a b   é   u m   n ú m e r o   p a r ,  

s e   e   s o m e n t e   s e ,   p e l o   m e n o s   u m   d o s   n ú m e r o s   i n t e i r o s ,   a   o u   b ,   f o r   p a r

Nesse tipo de demonstração, precisamos provar a ida e a volta. Provaremos então:

  1. D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   s e   o   p r o d u t o   a b   é   p a r ,   e n t ã o   p e l o   m e n o s   u m   d e l e s   é   p a r
  2. D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   s e   p e l o   m e n o s   u m   d e l e s   é   p a r ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   p a r

Vamos começar do ínicio, provando 1 . Da hipótese podemos escrever:

a b = 2 k

Podemos escrever k = k 1 k 2 , onde k 1 e k 2 são inteiros:

a b = ( 2 k 1 ) k 2

Ou seja, podemos ter que ou a = 2 k 1   e   b = k 2 ou a = k 2   e   b = 2 k 1 . Além disso, podemos ter que k 2 = 2 k 3 , isto é, ele pode ser par! Então teríamos:

a b = 2 k 1 2 k 3

E isso poderia ser a = 2 k 1   e   b = 2 k 3 . Não é uma regra, é apenas uma possibilidade.

Portanto, um deles deveria ser par.

Passo 2

Agora vamos provar o 2 . Da hipótese podemos escrever que:

b = 2 k ,     c a s o   a p e n a s   b   s e j a   p a r

a = 2 k ,     c a s o   a p e n a s   a   s e j a   p a r

b = 2 k   e   a = 2 p ,     c a s o   a   e   b   s e j a m   p a r e s

Bom, agora vamos ver cada caso.

Caso b é par e a não:

a . b = a . 2 k

Chamando a k = k 1 :

a b = 2 k 1

Ou seja, é par.

Caso a é par e b não:

a . b = 2 k . b

Chamando b k = k 2 :

a b = 2 k 2

Ou seja, é par.

Caso b é par e a é par:

a . b = 2 p . 2 k

Chamando 2 p k = k 3 :

a b = 2 k 3

Ou seja, é par.

Portanto, as duas proposições são verdadeiras, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método de se e somente se.

Exercício Resolvido #5

Mostre que um número inteiro de 4 dígitos é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for divisível por 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Meu amooooor, esse tipo de questão é muito interessante e pode cair na sua prova, por exemplo, falando sobre a regrinha dos números divisíveis por 4 , sei lá. Então, pega a visão!

Para começar, um número inteiro de 4 dígitos pode ser representado da seguinte forma:

a b c d

Concorda comigo? Eu não sei quais são os dígitos, então coloco uma letra ao lado da outra.

Bom, para ser divisível por 3 , é necessário que eu consiga escrever esse número da seguinte forma:

a b c d = 3 k

Onde k é um número inteiro. LEMBRE-SE: a b c d NÃO é uma multiplicação dessas letras, mas sim um nome!

Passo 2

Vamos lá, finalmente colocar a mão na massa. Concorda comigo que podemos escrever:

12 = 1 × 2 + 10 × 1

123 = 1 × 3 + 10 × 2 + 100 × 1

a b c = 1 × c + 10 × b + 100 × a

1234 = 1 × 4 + 10 × 3 + 100 × 2 + 1000 × 1

a b c d = 1 × d + 10 × c + 100 × b + 1000 × a

É assim que escreveremos nosso número:

a b c d = 1 . d + 10 . c + 100 . b + 1000 . a

Agora olha o truque!!!

a b c d = d + c + 9 c + b + 99 b + a + 999 a

a b c d = a + b + c + d + 9 c + 99 b + 999 a

a b c d = a + b + c + d + 3 3 c + 33 b + 333 a

Cara, a gente já tem uma parcela de a b c d que é divisível por 3 . Porém, aquela parte:

a + b + c + d

A gente não sabe se é. Se ela for, significa que:

a + b + c + d = 3 k 1

E chamando 3 c + 33 b + 333 a = 3 k 2 :

a b c d = 3 k 1 + 3 k 2

E finalmente:

a b c d = 3 k 1 + k 2 a b c d = 3 k 3

PORÉM, se a + b + c + d NÃO puder ser escrito como 3 k 1 , ou seja, se a soma dos algarismos não for divisível por 3 , então o número a b c d não é divisível por 3 .

Logo, a ÚNICA forma de a b c d ser divisível por 3 é se a soma dos algarismos também for, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método direto.

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