Demonstrações

Teoria Completa

FAAAAALA AÍ, MEU ANJO! Eu estou tão emocionada com esse momento... é aquele dizer né: “meu bebê está crescendo tão rápido”

Você vai aprender a DEMONSTRAR as paradas!!!

“Ah, mas isso eu nunca vou aprender, isso é pra quem faz Matemática, pra quem quer ser pesquisador!”

Não é, não! Todos podemos e devemos aprender a demonstrar algo, isso faz parte da construção de um raciocínio, é importante pra nossa vida sabermos “juntar os pontos”, criar uma linha de pensamento e tal.

“Mas gente, por que demonstrar? Troço chato.”

O principal motivo é que nossa intuição falha. Às vezes, as coisas seguem um padrão e tudo nos indica que algo vai se comportar de uma forma, mas na verdade não se comporta.

E na história da matemática, diversos exemplos demonstraram e convenceram os matemáticos que só a intuição é insuficiente para compreender os fatos matemáticos. Eu não vou citar aqui, porque tomaria muito tempo! Enfim, mãos à obra!

Métodos de demonstração

Atenção! Em todas as nossas demonstrações a partir de hoje, vamos usar as seguintes definições que usaremos MUITO:

  • Um número inteiro não nulo a divide um número inteiro b se existe um inteiro k , tal que: b = a k . Ou seja, sempre que você se deparar com “ a divide b ” ou “ b é divisível por a ”, significa que b = a k
  • Um número inteiro a é dito par se 2 divide a , ou seja, se existe número inteiro k tal que a = 2 k
  • Um número inteiro b é dito ímpar se 2 não divide b , nesse caso pode-se provar que existe um número inteiro k tal que b = 2 k + 1
  • Um número real r é dito racional se existirem números inteiros p ,   q , com q ≠ 0 , tal que r = p q
  • Um número real r é dito irracional se não for racional, ou seja, se não existirem inteiros p ,   q , com q ≠ 0 , tal que r = p q

Não se preocupe, parecem muitas, mas com o tempo e o uso, você vai ver que será bem natural.

Método da Demonstração Direta

Bom, é bem como o nome mesmo: bem direta. Você se depara com um pedido de “mostre que” envolvendo um p ⇒   q . Daí, é bem direto, através de p , a gente manipula termos até chegar em q . Se liga no exemplo:

M o s t r e   q u e   s e   n ,   m   s ã o   n ú m e r o s   í m p a r e s ,   e n t ã o   m + n   é   p a r .

Cara, na nossa hipótese, temos na verdade duas hipóteses menores:

Hipótese 1 : n é ímpar

Hipótese 2 : m é ímpar

Tese: m + n é par

Anjo, baseado na hipótese 1 , nós podemos escrever:

n = 2 k 1 + 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Baseado na hipótese 2 , nós podemos escrever:

m = 2 k 2 + 1

Onde k 2 é um número inteiro.

Ora, não vamos esquecer do nosso foco, a tese! Queremos dizer que a soma é par, então queremos chegar na seguinte equação: m + n = 2 k . Vamos manipular as equações que já temos e chegar lá:

m + n = 2 k 2 + 1 + 2 k 1 + 1

m + n = 2 k 1 + 2 k 2 + 2

m + n = 2 ( k 1 + k 2 + 1 )

Se chamarmos k 1 + k 2 + 1 = k :

m + n = 2 k

Portanto, a soma é realmente par, como queríamos demonstrar.

Ai gente, eu sempre quis usar esse quadradinho, e agora todos nós podemos! Basta terminar uma demonstração e você pode desenhar esse quadradinho no final.

Método da Demonstração por Redução ao Absurdo

Essa demonstração é muito famosa, também conhecida por demonstração por contradição. Já vou começar com um exemplo:

D e m o n s t r e   q u e   2   é   i r r a c i o n a l

Para demonstrar isso, vamos usar o método da redução ao absurdo. O que a gente faz é justamente tentar provar o contrário disso e chegar numa contradição. Vamos lá!

Começo dizendo que 2 é RACIONAL. Ora, se ele é racional, podemos escrever da seguinte forma:

2 = p q

Com p e q inteiros e q ≠ 0 . Elevando ambos os lados ao quadrado:

2 = p 2 q 2

Aqui, nós supomos que p e q não são ambos pares, pois se fossem, a gente poderia simplificar a fração até termos que pelo menos um dos termos da fração seja ímpar. Então, show, grava que os dois NÃO são pares ao mesmo tempo!

Ajeitando os termos:

2 q 2 = p 2

Cara, se p 2 é par (já que ele é o dobro de q 2 ), significa que p é par, então podemos substituir p = 2 l . Concorda comigo?

2 q 2 = 2 l 2

2 q 2 = 4 l 2

q 2 = 2 l 2

Carambolas! Chegamos à conclusão de que q 2 é par, dado que é o dobro de l 2 , e portanto, q é par. Eita ferro! A gente no início supôs que p e q NÃO eram ambos pares, e logo, isso é um absurdo!

Portanto, 2 é irracional, como queríamos demonstrar.

Demonstração por Contraposição

Meu anjinho, o que a gente faz aqui é demonstrar algo equivalente ao que se pede!

Isto é, se pedirem pra você demonstrar algo do tipo p ⇒   q , você pode provar uma proposição equivalente a isso, você lembra qual? (Olha eu te testando hahaha)

Você fará a demonstração de n ã o   q ⇒   n ã o   p . Se liga no exemplo:

M o s t r e   q u e   s e   n 2 é   í m p a r ,   e n t ã o   n   é   í m p a r

Vamos demonstrar usando o método da contraposição. Nosso caso atual é:

n 2   é   í m p a r ⇒   n   é   í m p a r

A contrapositiva será:

n   é   p a r ⇒   n 2   é   p a r

Bora provar isso!

Hipótese: n é par

Tese: n 2 é par

Então, a partir da hipótese, vamos tentar chegar na tese. Sabendo que n é par, podemos escrever:

n = 2 k

Onde k é um número inteiro.

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

n 2 = 4 k 2

n 2 = 2 2 k 2

Se chamarmos 2 k 2 = k 1

n 2 = 2 k 1

Isto é, n 2 é par, como queríamos demonstrar.

Perceba que parece que não aquilo que foi pedido pra demonstrar, mas na verdade é! Demonstramos uma proposição que é equivalente!

Demonstração de “se e somente se”

Olha, aqui é vou te mandar a real: é o método direto, só que com duas proposições compostas! Se liga, você vai se deparar com uma demonstração do tipo:

p ⇔   q

E aí vamos demonstrar o seguinte:

p ⇒   q

q ⇒   p

Exemplo:

D o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   p o s s u e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a + b   é   í m p a r

Para provar isso, temos que provar:

  1. S e   a   e   b   p o s s u e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s ,   e n t ã o   a + b   é   í m p a r .
  2. S e   a + b   é   í m p a r ,   e n t ã o   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s .

Vamos começar da implicação 1 :

Hipótese: a e b tem paridades diferentes.

Tese: a + b é ímpar

Baseado na hipótese, podemos dizer que a é par e b é ímpar, ou o contrário, não faz diferença!

a = 2 k 1

b = 2 k 2 + 1

Vamos somar os dois e verificar se a soma é ímpar ou não.

a + b = 2 k 1 + 2 k 2 + 1

a + b = 2 k 1 + k 2 + 1

Chamando k = k 1 + k 2 :

a + b = 2 k + 1

Portanto, a implicação 1 é verdadeira.

Para provar a implicação 2 , vamos usar o método de contraposição. Isto é, ao invés de provarmos “ S e   a + b   é   í m p a r ,   e n t ã o   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   d i f e r e n t e s ”, vamos provar:

S e   a   e   b   t e m   p a r i d a d e s   i g u a i s ,   e n t ã o   a + b   é   p a r

Vamos lá. Se a e b tem paridades iguais, isso significa que ambos são pares ou ambos são ímpares.

Caso a e b pares:

a = 2 k 1

b = 2 k 2

a + b = 2 k 1 + 2 k 2

a + b = 2 k 1 + k 2

Chamando k 3 = k 1 + k 2 :

a + b = 2 k 3

Logo, é verdade.

Caso a e b ímpares:

a = 2 k 1 + 1

b = 2 k 2 + 1

a + b = 2 k 1 + 2 k 2 + 2

a + b = 2 k 1 + k 2 + 1

Chamando k 3 = k 1 + k 2 + 1 :

a + b = 2 k 3

Logo, é verdade.

E portanto, as implicações 1   e   2 são verdadeiras, como queríamos demonstrar.

Perceba que nesse método de “se, e somente se”, a gente o desmembra em duas implicações. Para provarmos essas implicações, podemos usar os outros métodos que coloquei aqui, assim como acabei de fazer, usando o método da contraposição.

Bom, meu anjo, é isso! Parte pros exercícios e arrebenta!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Demonstre as seguintes afirmações:

( a ) Se a divide b e a divide c , então a divide b + c .

b Se m e n são números pares, então m + n é par.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

FALAAAAA AÍ! Bom, sem muita conversa, vamos demonstrar essas afirmações, começando do começo:

a   S e   a   d i v i d e   b   e   a   d i v i d e   c ,   e n t ã o   a   d i v i d e   b + c

Vou escolher o método da demonstração direta para fazer estes, ok?

Hipótese 1 : a divide b

Hipótese 2 : a divide c

Tese: a divide b + c

Vamos lá, olhando a hipótese 1 , temos que se a divide b , então podemos escrever o seguinte:

b = a k 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Olhando a hipótese 2 , temos que se a divide c , então podemos escrever o seguinte:

c = a k 2

Onde k 2 é um número inteiro.

Legal, agora vamos focar no que queremos provar: a divide b + c . Então poderíamos escrever que queremos chegar no seguinte:

b + c = a k 3