Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

Teoria Completa

Implicação

Cara, para tudooooooo! Esse conectivo, representado por ⇒   , é o mais importante! Acho que você já tá cansado de ver:

p ⇒   q

Em que lemos “ p implica q ”.

É aquele que expressa uma relação de implicação, mas não de causa-efeito, ela apenas estabelece uma relação entre os valores lógicos da implicação e os valores lógicos de p e q .

Nessa relação, p é chamada hipótese ou premissa e q é a tese ou conclusão.

Olha um exemplo bem doido:

" S e   6   é   p a r ,   e n t ã o   u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s   t e m   d o i s   l a d o s   i g u a i s "

Se adotarmos:

p = 6   é   p a r

q = u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s   t e m   d o i s   l a d o s   i g u a i s

Nossa proposição é:

p ⇒   q

Essa implicação é verdadeira, pois p é verdadeira e q também. Mas perceba que não tem nada a ver uma coisa com a outra. Apenas julgamos a setinha, baseado na hipótese e na tese.

Olha esse que doideira:

" S e   2   é   í m p a r ,   e n t ã o   2 + 5 = 3 "

Cara, pasme se quiser, isso é verdadeiro!!! Sabe por que?

A hipótese é falsa e a tese também é, então a implicação é verdadeira. Saca só a tabela verdade:

A única forma da implicação ser falsa é se a hipótese for verdadeira e a tese for falsa.

E como fica a negação disso?

A   n e g a ç ã o   d e   p ⇒   q   é   p ∧ n ã o ( q )

Recíproca, contrapositiva, inversa e relação de equivalência

Vamos conhecer as primas da implicação. Dada uma implicação do tipo:

p ⇒   q

r e c í p r o c a : q ⇒   p

c o n t r a p o s i t i v a : n ã o ( q ) ⇒   n ã o ( p )

i n v e r s a : n ã o ( p ) ⇒   n ã o ( q )

E já te adianto o seguinte: a implicação é equivalente à contrapositiva. Como eu sei disso? Você sempre pode dizer que duas proposições compostas são equivalentes se elas possuem a mesma tabela verdade. Olha a tabelinha:

Percebe que os valores verdades das duas últimas colunas são iguais, então são equivalentes.

Olha tabela das três proposições que vimos agora:

Perceba que a recíproca e a inversa são equivalentes, pois suas tabelas verdade são iguais (olhe a última coluna)!

Finalmente, o conectivo

p ⇔ q

É chamado de bicondicional ou biimplicação. A gente lê isso como “p se e somente se q”.

Para dizer que isso é verdade ou não, basta que p ⇒ q ∧ ( q ⇒ p ) seja verdade.

Exemplo:

x 2   é   r a c i o n a l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   é   r a c i o n a l

p = x 2   é   r a c i o n a l

q = x   é   r a c i o n a l

Vamos ver se a implicação é verdadeira:

S e   x 2   é   r a c i o n a l ,   e n t ã o   x   é   r a c i o n a l

Isso não é verdade, pois x = 2 é irracional e x 2 é racional. Nem precisamos fazer a recíproca, já temos aqui que a biimplicação é falsa.

Dizemos que p é condição suficiente para q se p ⇒ q é verdadeira e dizemos que p é condição necessária para q se q ⇒ p é verdadeira. No caso de biimplicação, ou seja, a implicação e a recíproca são verdadeiras, dizemos que p é uma condição necessária e suficiente para q .

Deixo aqui a tabelinha da negação pra você de todos os conectivos e quantificadores que vimos até agora:

Múltiplos Quantificadores

Bom, já vimos os quantificadores e , mas ainda não os vimos juntos! Simmmm, chegou a hora de juntar esse dois e ver a bagunça que fica hahaha

Já vou te avisando, porque sou sua amiga, que A ORDEM IMPORTA. Então toda vez que você se depara com algo assim:

∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   y = x 2

Já repara em quem tá aparecendo primeiro! Vamos traduzir isso aí pro português: “Para todo número real x , existe um número real y tal que y = x 2 ”.

Cara, isso é verdade. Qualquer número que você pegue x , se você elevá-lo ao quadrado, x 2 também será um número real, que chamaremos de y .

Agora vamos inverter essa brincadeira:

∃ y ∈ R   |   ∀ x ∈ R ,   y = x 2

Agora traduzindo para o português: “Existe um número real y tal que para todo número real x , y = x 2 ”. Isso não é verdade, cara. Tipo, escolhe um número real y , pode ser o 3 ou qualquer outro da sua preferência. Me diga, é verdade que PARA TODO E QUALQUER x real, x 2 = 3 ???

Não é verdade, você pode pegar o x = 0 → x 2 = 0 ≠ 3 . E isso deu errado não foi porque escolhemos o 3 , mas porque não vai funcionar com nenhum número.

Agora vamos aprender a negar essas estruturas. Lembre-se: onde é “tal que” vira vírgula e onde é vírgula vira “tal que”.

¬ ( ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   y = x 2 )

¬ ( ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R ) ,   ¬ ( y = x 2 )

∃ x ∈ R   |   ∀ y ∈ R ,   y ≠ x 2

Troquei o por e vice-versa! Legal né? Partiu exercícios!!!

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Exercício Resolvido #1

Ache a contrapositiva, a recíproca e a inversa das seguintes frases:

a   n ã o   p ⇒   q

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

c   S e   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

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Passo 1

Olááá meu anjo!!! Bora fazer esse exercício! Você vai ver que vai ser rapidinho.

Vamos dar uma relembrada do que seria uma contrapositiva, uma recíproca e uma inversa de uma implicação do tipo p ⇒   q :

c o n t r a p o s i t i v a : n ã o   q ⇒   n ã o   p

r e c í p r o c a :   q ⇒   p

i n v e r s a :   n ã o   p ⇒   n ã o   q

Agora sim, comecemos do começo:

a   n ã o   p ⇒   q

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( q ) ⇒   n ã o ( n ã o   p )

Aquele “não” depois da implicação anula o outro dentro dos parênteses, ficando com:

c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q ⇒   p

Passo 2

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   q ⇒   n ã o   p

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o n ã o   p ⇒   n ã o   q

i n v e r s a :   p ⇒   n ã o   q

Passo 3

Dá uma olha nessa próxima:

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

Que proposição estranha né? Hahaha Bom, esquece isso e foca no que interessa: chamar uma oração de p e outra de q .

Não é tão complicado fazer isso, basta olharmos pro “então”. Esse cara é a nossa seta.

Sendo assim, o que vem antes dele é a hipótese (normalmente chamamos de p ) e o que vem depois é a tese (normalmente chamamos de q ):

p = M i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r

q = e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

Então nossa implicação é do tipo:

p ⇒   q

E aí, vamos encontrar o que se pede!

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( q ) ⇒   n ã o ( p )

c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q ⇒   n ã o   p

Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:

S e   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r .

Passo 4

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   q ⇒   p

Novamente, em português:

S e   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r .

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o   p ⇒   n ã o   q

Em português:

S e   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a .

Gente, parece bobo, mas é muito importante que você passe pro português, você pode perder muitos pontos se não fizer isso! Atenção, meu anjo!

Passo 5

Se liga nessa última:

c   S e   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Bom, vamos passar para a linguagem matemática:

n ã o   p = 2 k + 1   n ã o   é   p r i m o

n ã o   q = k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2

Perceba que chamei n ã o   p só porque temos uma negação ali. A mesma coisa fiz com q , como aparece um “não” na frase, achei de bom tom colocar um “não” acompanhando o p e o q . Então nossa implicação é do tipo:

n ã o   p ⇒   n ã o   q

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( n ã o   q ) ⇒   n ã o ( n ã o   p )

c o n t r a p o s i t i v a :   q ⇒   p

Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:

S e   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   é   p r i m o .

Passo 6

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   n ã o   q ⇒   n ã o   p

Novamente, em português:

S e   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o .

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o ( n ã o   p ) ⇒   n ã o ( n ã o   q )

i n v e r s a : p ⇒   q

Em português:

S e   2 k + 1   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Resposta

a   c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q ⇒   p ,   r e c í p r o c a :   q ⇒   n ã o   p ,   i n v e r s a :   p ⇒   n ã o   q

b   c o n t r a p o s i t i v a :   S e   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r .

r e c í p r o c a :   S e   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r .

i n v e r s a :   S e   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a .

c   c o n t r a p o s i t i v a : S e   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   é   p r i m o .

r e c í p r o c a :   S e   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o .

i n v e r s a :   S e   2 k + 1   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Exercício Resolvido #2

Atribua um valor verdade as seguintes proposições:

a   S e   4   é   u m   n ú m e r o   p a r ,   e n t ã o   7   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

b   S e   2   é   u m   n ú m e r o   p a r ,   e n t ã o   6   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

c   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   f r e e z e r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m   g e l i n h o

d   S e   3   n ã o   é   p a r   n e m   p r i m o ,   e n t ã o   5   n ã o   é   í m p a r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, nessa questão nós temos implicações em todas as alternativas e precisamos julgar se as implicações são verdadeiras ou falsas.

Vou colocar nossa tabela verdade em todos as alternativas, mas tentar não focar tanto nela, e sim no pensamento lógico por trás de tudo isso!

Essa é a nossa tabelinha, agora vamos começar com a letra ( a )

a   S e   4   é   u m   n ú m e r o   p a r ,   e n t ã o   7   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

Vamos escrever nossa implicação para a linguagem matemática:

p = S e   4   é   u m   n ú m e r o   p a r

q = 7   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

A gente já viu na nossa teoria que a ÚNICA maneira de uma implicação do tipo “ p implica q

p ⇒   q

Ser FALSA é se p acontecer e q não acontecer. Vamos julgar nossas proposições:

p   é   v e r d a d e i r a

Afinal, 4 é par.

q   é   v e r d a d e i r a

Afinal, 7 é ímpar.

Como p e q são verdadeiras, p ⇒   q é VERDADEIRA

Passo 2

Vamos ver a próxima:

b   S e   2   é   u m   n ú m e r o   p a r ,   e n t ã o   6   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

Identificando p e q :

p = 2   é   u m   n ú m e r o   p a r

q = 6   é   u m   n ú m e r o   í m p a r

Agora vamos avaliar essas proposições. Sabemos que 2 é par, então:

p   é   v e r d a d e i r a

Para nossa implicação ser verdadeira, dado que já sabemos que a hipótese é verdadeira, precisamos que a tese também seja, mas 6 não é ímpar, então:

q   é   f a l s a

Veja a tabelinha da verdade:

Portanto, essa implicação é falsa.

Passo 3

Sério, se liga nessa aqui hahahahahah

c   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   f r e e z e r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m   g e l i n h o

Essa frase não sentido algum né? Dá muuuuita vontade de dizer que é falsa, MAS você precisa lembrar que neste caso, não estamos avaliando a veracidade do que está sendo dito, mas a relação de implicação!!! Então, vamos com calma, identificando p e q primeiro:

p = M i n h a   m ã e   é   u m   f r e e z e r

q = E u   s o u   u m   g e l i n h o

Gente, é muito óbvio que nenhuma mãe é um freezer (olha o respeito hein hahah), que sá a minha, então:

p   é   f a l s a

E eu sei que pode ter gente nesse mundo bem fria, que dê muito gelo nos crushes da festa e tal, mas literalmente ninguém é um gelinho, então:

q   é   f a l s a

Sendo que, para uma implicação ser verdadeira, dado que a hipótese já é falsa, não importa o que a tese é, nossa implicação será verdadeira, olhe a tabelinha:

Portanto, verdadeira!

Passo 4

Por último, porém não menos importante:

d   S e   3   n ã o   é   p a r   n e m   p r i m o ,   e n t ã o   5   n ã o   é   í m p a r

Vamos novamente escrever na linguagem matemática:

p = 3   n ã o   é   p a r   n e m   p r i m o

q = 5   n ã o   é   í m p a r

Agora para julgar cada um, eu vou reescrever o p desse jeitinho:

p = 3   n ã o   é   p a r   e   n ã o   é   p r i m o

Para p ser verdadeira, precisamos que as duas proposições sejam verdadeiras: 3 não é par e a 3 não é primo. Porém, apenas uma é verdadeira, que é aquela que diz que ele não par. Portanto:

p   é   f a l s a

q   é   f a l s a