Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

Teoria Completa

Implicação

Cara, para tudooooooo! Esse conectivo, representado por ⇒   , é o mais importante! Acho que você já tá cansado de ver:

p ⇒   q

Em que lemos “ p implica q ”.

É aquele que expressa uma relação de implicação, mas não de causa-efeito, ela apenas estabelece uma relação entre os valores lógicos da implicação e os valores lógicos de p e q .

Nessa relação, p é chamada hipótese ou premissa e q é a tese ou conclusão.

Olha um exemplo bem doido:

" S e   6   é   p a r ,   e n t ã o   u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s   t e m   d o i s   l a d o s   i g u a i s "

Se adotarmos:

p = 6   é   p a r

q = u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s   t e m   d o i s   l a d o s   i g u a i s

Nossa proposição é:

p ⇒   q

Essa implicação é verdadeira, pois p é verdadeira e q também. Mas perceba que não tem nada a ver uma coisa com a outra. Apenas julgamos a setinha, baseado na hipótese e na tese.

Olha esse que doideira:

" S e   2   é   í m p a r ,   e n t ã o   2 + 5 = 3 "

Cara, pasme se quiser, isso é verdadeiro!!! Sabe por que?

A hipótese é falsa e a tese também é, então a implicação é verdadeira. Saca só a tabela verdade:

A única forma da implicação ser falsa é se a hipótese for verdadeira e a tese for falsa.

E como fica a negação disso?

A   n e g a ç ã o   d e   p ⇒   q   é   p ∧ n ã o ( q )

Recíproca, contrapositiva, inversa e relação de equivalência

Vamos conhecer as primas da implicação. Dada uma implicação do tipo:

p ⇒   q

r e c í p r o c a : q ⇒   p

c o n t r a p o s i t i v a : n ã o ( q ) ⇒   n ã o ( p )

i n v e r s a : n ã o ( p ) ⇒   n ã o ( q )

E já te adianto o seguinte: a implicação é equivalente à contrapositiva. Como eu sei disso? Você sempre pode dizer que duas proposições compostas são equivalentes se elas possuem a mesma tabela verdade. Olha a tabelinha:

Percebe que os valores verdades das duas últimas colunas são iguais, então são equivalentes.

Olha tabela das três proposições que vimos agora:

Perceba que a recíproca e a inversa são equivalentes, pois suas tabelas verdade são iguais (olhe a última coluna)!

Finalmente, o conectivo

p ⇔ q

É chamado de bicondicional ou biimplicação. A gente lê isso como “p se e somente se q”.

Para dizer que isso é verdade ou não, basta que p ⇒ q ∧ ( q ⇒ p ) seja verdade.

Exemplo:

x 2   é   r a c i o n a l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   é   r a c i o n a l

p = x 2   é   r a c i o n a l

q = x   é   r a c i o n a l

Vamos ver se a implicação é verdadeira:

S e   x 2   é   r a c i o n a l ,   e n t ã o   x   é   r a c i o n a l

Isso não é verdade, pois x = 2 é irracional e x 2 é racional. Nem precisamos fazer a recíproca, já temos aqui que a biimplicação é falsa.

Dizemos que p é condição suficiente para q se p ⇒ q é verdadeira e dizemos que p é condição necessária para q se q ⇒ p é verdadeira. No caso de biimplicação, ou seja, a implicação e a recíproca são verdadeiras, dizemos que p é uma condição necessária e suficiente para q .

Deixo aqui a tabelinha da negação pra você de todos os conectivos e quantificadores que vimos até agora:

Múltiplos Quantificadores

Bom, já vimos os quantificadores e , mas ainda não os vimos juntos! Simmmm, chegou a hora de juntar esse dois e ver a bagunça que fica hahaha

Já vou te avisando, porque sou sua amiga, que A ORDEM IMPORTA. Então toda vez que você se depara com algo assim:

∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   y = x 2

Já repara em quem tá aparecendo primeiro! Vamos traduzir isso aí pro português: “Para todo número real x , existe um número real y tal que y = x 2 ”.

Cara, isso é verdade. Qualquer número que você pegue x , se você elevá-lo ao quadrado, x 2 também será um número real, que chamaremos de y .

Agora vamos inverter essa brincadeira:

∃ y ∈ R   |   ∀ x ∈ R ,   y = x 2

Agora traduzindo para o português: “Existe um número real y tal que para todo número real x , y = x 2 ”. Isso não é verdade, cara. Tipo, escolhe um número real y , pode ser o 3 ou qualquer outro da sua preferência. Me diga, é verdade que PARA TODO E QUALQUER x real, x 2 = 3 ???

Não é verdade, você pode pegar o x = 0 → x 2 = 0 ≠ 3 . E isso deu errado não foi porque escolhemos o 3 , mas porque não vai funcionar com nenhum número.

Agora vamos aprender a negar essas estruturas. Lembre-se: onde é “tal que” vira vírgula e onde é vírgula vira “tal que”.

¬ ( ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   y = x 2 )

¬ ( ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R ) ,   ¬ ( y = x 2 )

∃ x ∈ R   |   ∀ y ∈ R ,   y ≠ x 2

Troquei o por e vice-versa! Legal né? Partiu exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ache a contrapositiva, a recíproca e a inversa das seguintes frases:

a   n ã o   p ⇒   q

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

c   S e   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olááá meu anjo!!! Bora fazer esse exercício! Você vai ver que vai ser rapidinho.

Vamos dar uma relembrada do que seria uma contrapositiva, uma recíproca e uma inversa de uma implicação do tipo p ⇒   q :

c o n t r a p o s i t i v a : n ã o   q ⇒   n ã o   p

r e c í p r o c a :   q ⇒   p

i n v e r s a :   n ã o   p ⇒   n ã o   q

Agora sim, comecemos do começo:

a   n ã o   p ⇒   q

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( q ) ⇒   n ã o ( n ã o   p )

Aquele “não” depois da implicação anula o outro dentro dos parênteses, ficando com:

c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q ⇒   p

Passo 2

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   q ⇒   n ã o   p

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o n ã o   p ⇒   n ã o   q

i n v e r s a :   p ⇒   n ã o   q

Passo 3

Dá uma olha nessa próxima:

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a