Equações de segundo grau

Teoria Completa

Motivação

As equações de segundo grau são equações em que uma das incógnitas está ao quadrado e esse é o maior grau da equação.

Um bom exemplo para elas é dado por Cleiton, que jogou sua bola de tênis para o alto sem razão aparente.

A bola de tênis, saiu com velocidade inicial de 15 m / s e está sendo puxada de volta pela gravidade, que também não tinha mais nada para fazer naquele dia. Considerando g = 10 m / s 2 , a bola a 10 m de altura é descrita por:

V 0 t - 1 2 g t 2 = S ⟹ 15 t - 5 t 2 = 10

Reajustando os termos e dividindo tudo por 5 :

- t 2 + 3 t - 2 = 0

Para acharmos o tempo associado a essa altura, devemos achar t resolvendo a equação, mas como fazemos isso?

Resolvendo uma equação de segundo grau

As equações de segundo grau não são difíceis de resolver, vamos ver isso e voltamos ao problema da motivação.

Uma equação de segundo grau geral tem forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com a ≠ 0 e 0 no lado direito. Se aparecer uma equação de segundo grau nesta forma mas com os termos embaralhados à direita e à esquerda da igualdade, é só isolar tudo do lado esquerdo e chegará nessa forma geral.

É importante escrever tudo dessa maneira para que possamos aplicar o coringa da solução das equações de segundo grau: a fórmula de Bháskara! Ela diz que:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Repare que só troca o sinal antes da raiz quadrada. Chamamos x 1 e x 2 de raízes da equação de segundo grau e os subscritos 1 e 2 nos x indicam um possível valor da incógnita que satisfaz a igualdade da equação. Como podemos ter dois valores para a incógnita, o conjunto solução poderá ter dois valores distintos.

Normalmente, escrevemos a fórmula de Bháskara desse jeito:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Podemos também escrever mais resumidamente se chamarmos o que está dentro da raiz de delta:

Δ = b 2 - 4 a c

Escrevemos a solução como sendo:

x = - b ± Δ 2 a

Porém, o Δ não está aí só para enfeitar a fórmula, ele tem um papel muito importante na solução.

As raízes podem ser classificadas com relação aos seus tipos. Não sei se você já percebeu que se a única diferença entre as duas raízes ( x 1 e x 2 ) é o sinal da raiz quadrada do delta, então se o delta for zero:

Δ = 0

x 1 = - b 2 a

x 2 = - b 2 a

As raízes serão dois números reais e iguais. Se o delta for negativo:

Δ < 0

Estaremos tirando a raiz quadrada de um número negativo na nossa fórmula. Não existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais, por consequência, as raízes vão ser complexas.

Se, por outro lado, o delta for positivo, a única coisa que vamos ter é que as raízes serão distintas e reais. Portanto:

  • Se Δ = 0 , temos raízes reais iguais.
  • Se Δ < 0 , temos raízes complexas distintas.
  • Se Δ > 0 , temos raízes reais distintas.

Sabendo disso tudo, podemos voltar para o nosso problema inicial. A bola do Cleitinho há 10 m de altura é descrita pela equação:

- t 2 + 3 t - 2 = 0

Comparando com a fórmula geral da equação de segundo grau, vemos que:

a = - 1 b = 3 c = - 2

Assim, usando a fórmula de Bháskara:

t 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ - 1 - 2 2 - 1 = - 3 ± 9 - 8 - 2 = - 3 ± 1 - 2

Assim sendo, temos:

t 1 = - 3 + 1 - 2 = 1 s

t 2 = - 3 - 1 - 2 = 2 s

A bola do Cleiton passa por essa altura quando tá subindo em t = 1 s e quando está descendo em t = 2 s Assim, a solução será:

S = 1,2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Vestibular EEAR

A soma dos cubos das raízes da equação

2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1

É:

a)-343

b)-133

c)-7

d)-3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos tentar juntar isso aí e ver onde dá: 2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1  

Fazendo M.M.C.:

2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 x - 3 x 2 - 9 = 1

Multiplicando os dois lados pelo denominador : 2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 = x - 3 x 2 - 9

Veja que podemos escrever a equação de segundo grau como o produto de suas raízes: x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Assim, ficamos com: 2 x + 1 x - 3 x + 3 - 2 x - 3 = x - 3 x - 3 x + 3

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3

Temos que descartar valores x = 3 da nossa solução, se fizer parte, por conta desse corte.

Passo 2

Distribuindo:

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3 ⟹ 2 x 2 + 6 x + x + 3 - 2 = x 2 - 9

2 x 2 + 7 x + 1 = x 2 - 9 ⟹ x 2 + 7 x + 10 = 0

Pronto, conseguimos transformar isso tudo numa equação de segundo grau! Por Bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 7 ± 7 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 10 2 ⋅ 1 = - 7 ± 49 - 40 2 = - 7 ± 3 2

Logo:

x 1 = - 5 x 2 = - 2

Passo 3

Assim, a soma dos cubos das raízes será: x 1 3 + x 2 3 = - 5 3 + - 2 3 = - 125 - 8 = - 133

Letra b !

Resposta

- 133

Letra b .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Qual o maior valor de k de modo que equação x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0 tenha uma das raízes nulas?

a)4

b)-1

c)-4

d)1

e)4 ou -1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Veja que k é uma constante e fará parte do coeficiente da equação, não da sua variável. Assim, podemos escrever:   x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0

Veja que, se a parte em pareteses for zero, então podemos escrever: x 2 - 6 x = 0 ⟹ x x - 6 = 0

Que tem raízes x 1 = 0 e x 2 = 6 . Dessa forma, precisamos que:

k 2 - 3 k - 4 = 0

Passo 2

Agora sim, consideramos k a variável de uma equação de segundo grau, porque queremos descobrir o valor em que a equação zera. Para tal, vamos usar Bhaskara: k 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 4 2 ⋅ 1 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 25 2 = 3 ± 5 2

Logo, teremos: k 1 = 4 k 2 = - 1

A maior valor de k que satisfaz o problema será, portanto, 4 . Letra a . Não confunda com a e , ele pediu o maior valor, não o conjunto solução!

Resposta

k = 4

Letra a .

Exercício Resolvido #3

Vestibular EEAR

É verdadeira a afirmação: A equação x 8 - 113 x 4 + 36 = 0

a) admite 4 raízes reais irracionais

b) admite 4 raízes reais racionais positivas

c) não admite raízes reais

d) admite 4 raízes reais inteiras

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Você pode estar pensando: UÉ, isso não é uma equação de segundo grau! Tem um x 8 no meio.

Sua afirmação faz sentido, mas como todos os expoentes do polinômio são divisíveis por 2 , podemos fazer uma substituição:

u = x 4

E chegar a: x 8 - 113 x 4 + 36 ⟹ u 2 - 113 u + 36 = 0

Que é uma equação de segundo grau!

Passo 2

Resolvemos ela exatamente igual a uma equação de segundo grau normal. Vamos ver as raízes por Bhaskara: u 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 113 ± 113 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 36 2 ⋅ 1 = 113 ± 12769 - 144 2

= 113 ± 12625 2

Nem precisamos continuar calculando isso aí. Veja que a parte dentro do Δ será positiva, logo teremos duas raízes reais e distintas. Essa raiz também não é racional, logo o resultado será irracional.

Passo 3

Esse achado é válido para u , mas precisamos determinar para x . Como: u = x 4 ⟹ x = ± u 4  

Precisamos que a raiz de u seja maior que zero para que o acima que:

x = ± u 4

Exista. Repare também que uma raiz de u , leva a duas raízes de x , uma vez que aparece o sinal de ± ali.

O valor de 12625 é menor que 113 , e portanto, as duas raízes de u serão positivas e distintas e irracionais.

Dessa forma, existem 4 raízes de x que são reais irracionais e distintas entre si u 1 4 , - u 1 4 , u 2 4 , - u 2 4 .

Resposta

Letra a .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas