Teoria Completa
Motivação
As equações de segundo grau são equações em que uma das incógnitas está ao quadrado e esse é o maior grau da equação.
Um bom exemplo para elas é dado por Cleiton, que jogou sua bola de tênis para o alto sem razão aparente.
A bola de tênis, saiu com velocidade inicial de e está sendo puxada de volta pela gravidade, que também não tinha mais nada para fazer naquele dia. Considerando , a bola a 10 de altura é descrita por:
Reajustando os termos e dividindo tudo por :
Para acharmos o tempo associado a essa altura, devemos achar resolvendo a equação, mas como fazemos isso?
Resolvendo uma equação de segundo grau
As equações de segundo grau não são difíceis de resolver, vamos ver isso e voltamos ao problema da motivação.
Uma equação de segundo grau geral tem forma:
Com e no lado direito. Se aparecer uma equação de segundo grau nesta forma mas com os termos embaralhados à direita e à esquerda da igualdade, é só isolar tudo do lado esquerdo e chegará nessa forma geral.
É importante escrever tudo dessa maneira para que possamos aplicar o coringa da solução das equações de segundo grau: a fórmula de Bháskara! Ela diz que:
Repare que só troca o sinal antes da raiz quadrada. Chamamos e de raízes da equação de segundo grau e os subscritos 1 e 2 nos indicam um possível valor da incógnita que satisfaz a igualdade da equação. Como podemos ter dois valores para a incógnita, o conjunto solução poderá ter dois valores distintos.
Normalmente, escrevemos a fórmula de Bháskara desse jeito:
Podemos também escrever mais resumidamente se chamarmos o que está dentro da raiz de delta:
Escrevemos a solução como sendo:
Porém, o não está aí só para enfeitar a fórmula, ele tem um papel muito importante na solução.
As raízes podem ser classificadas com relação aos seus tipos. Não sei se você já percebeu que se a única diferença entre as duas raízes ( e é o sinal da raiz quadrada do delta, então se o delta for zero:
As raízes serão dois números reais e iguais. Se o delta for negativo:
Estaremos tirando a raiz quadrada de um número negativo na nossa fórmula. Não existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais, por consequência, as raízes vão ser complexas.
Se, por outro lado, o delta for positivo, a única coisa que vamos ter é que as raízes serão distintas e reais. Portanto:
- Se , temos raízes reais iguais.
- Se , temos raízes complexas distintas.
- Se , temos raízes reais distintas.
Sabendo disso tudo, podemos voltar para o nosso problema inicial. A bola do Cleitinho há de altura é descrita pela equação:
Comparando com a fórmula geral da equação de segundo grau, vemos que:
Assim, usando a fórmula de Bháskara:
Assim sendo, temos:
A bola do Cleiton passa por essa altura quando tá subindo em e quando está descendo em Assim, a solução será:
Exercício Resolvido #1
A soma dos cubos das raízes da equação
É:
a)-343
b)-133
c)-7
d)-3
Passo 1
Vamos tentar juntar isso aí e ver onde dá:
Fazendo M.M.C.:
Multiplicando os dois lados pelo denominador :
Veja que podemos escrever a equação de segundo grau como o produto de suas raízes:
Assim, ficamos com:
Temos que descartar valores da nossa solução, se fizer parte, por conta desse corte.
Passo 2
Distribuindo:
Pronto, conseguimos transformar isso tudo numa equação de segundo grau! Por Bhaskara:
Logo:
Passo 3
Assim, a soma dos cubos das raízes será:
Letra !
Resposta
Letra .
Exercício Resolvido #2
Qual o maior valor de de modo que equação tenha uma das raízes nulas?
a)4
b)-1
c)-4
d)1
e)4 ou -1
Passo 1
Veja que é uma constante e fará parte do coeficiente da equação, não da sua variável. Assim, podemos escrever:
Veja que, se a parte em pareteses for zero, então podemos escrever:
Que tem raízes e . Dessa forma, precisamos que:
Passo 2
Agora sim, consideramos a variável de uma equação de segundo grau, porque queremos descobrir o valor em que a equação zera. Para tal, vamos usar Bhaskara:
Logo, teremos:
A maior valor de que satisfaz o problema será, portanto, . Letra . Não confunda com a , ele pediu o maior valor, não o conjunto solução!
Resposta
Letra .
Exercício Resolvido #3
É verdadeira a afirmação: A equação
a) admite 4 raízes reais irracionais
b) admite 4 raízes reais racionais positivas
c) não admite raízes reais
d) admite 4 raízes reais inteiras
Passo 1
Você pode estar pensando: UÉ, isso não é uma equação de segundo grau! Tem um no meio.
Sua afirmação faz sentido, mas como todos os expoentes do polinômio são divisíveis por , podemos fazer uma substituição:
E chegar a:
Que é uma equação de segundo grau!
Passo 2
Resolvemos ela exatamente igual a uma equação de segundo grau normal. Vamos ver as raízes por Bhaskara:
Nem precisamos continuar calculando isso aí. Veja que a parte dentro do será positiva, logo teremos duas raízes reais e distintas. Essa raiz também não é racional, logo o resultado será irracional.
Passo 3
Esse achado é válido para , mas precisamos determinar para . Como:
Precisamos que a raiz de seja maior que zero para que o acima que:
Exista. Repare também que uma raiz de , leva a duas raízes de , uma vez que aparece o sinal de ali.
O valor de é menor que , e portanto, as duas raízes de serão positivas e distintas e irracionais.
Dessa forma, existem raízes de que são reais irracionais e distintas entre si .
Resposta
Letra .