Equação Polinomial

Teoria Completa

Introdução

Faaaaala, meu anjo! Queria começar te dizendo que as equações são umas das motivações mais fundamentais da matemática, porque surgem a todo momento durante a vida, até mesmo na hora de tu pensar no troco da sua passagem no busu! De uma forma geral, uma equação polinomial (ou algébrica) é da forma:

P x = 0

Então estaremos focados em resolver valores de uma variável para que o polinômio seja zero! Esse processo é chamado de encontrar as raízes do polinômio.

Porém, não é porque equações são fundamentais, que necessariamente são fáceis de resolver, tudo vai depender do grau dos polinômios envolvidos. Por isso, vamos começar com um dos tipos mais simples de equação: a equação de primeiro grau.

Equação de primeiro grau

As equações de primeiro grau estão literalmente em todos os lugares. Mas, são mais comuns na venda do seu Joaquim, que sempre esquece os preços de seus produtos... Padrão!

Certo dia, Joaquim esqueceu o preço que cobrava por uma latinha de refrigerante. A única coisa que ele sabia é que o salgado custava sozinho R$ 4 , 00 e o salgado mais o refrigerante custava R $   7,00 .

Bem, nem tudo está perdido para o seu Joaquim. O salgado custa sozinho R $   4,00 e, com o refrigerante, R $   7,00 . Se chamarmos o preço do refrigerante de r , então:

4 + r = 7

Diminuindo 7 dos dois lados:

4 + r - 7 = 7 - 7

r - 3 = 0

Perceba que temos um polinômio igualado a zero, como eu havia te falado! Então:

r = 3

Ou seja, o preço do refrigerante é de R $   3,00 .

O que acabamos de montar foi uma equação de primeiro grau. Ela possui três componentes chaves: os valores conhecidos, que são os dados do problema; o valor desconhecido que queremos achar e é chamado de incógnita; e o sinal de igualdade ( = ) .

O sinal de igualdade é extremamente importante, pois é ele que relaciona os valores conhecidos com a incógnita. Isso acontece porque tudo que está à esquerda do sinal de igualdade deve ser igual ao que está à direita dele.

O valor de r deve ser necessariamente 3 , pois satisfaz a condição de igualdade, ou seja, se substituirmos r por 3 na equação:

4 + r = 7 ⇒ 4 + 3 = 7

7 = 7

Encontramos o mesmo valor à esquerda e à direita do sinal de igualdade. Todos os valores para uma incógnita que satisfazem a igualdade fazem parte do conjunto solução da equação.

Como, no nosso problema, r = 3 satisfaz a igualdade, dizemos que o conjunto solução S é:

S = 3

Se liga no que você vai fazer quando encontrar uma situação do tipo:

a x + b = 0

Onde a e b são números! Subtrai b dos dois lados:

a x + b - b = - b

a x = - b

E divida por a nos dois lados:

1 a a x = 1 a ( - b )

x = - b a

Essa será sempre a solução de uma equação do primeiro grau!

Sistemas de equações de primeiro grau

Bom, a gente acabou de ver um caso de uma equação do primeiro grau que envolvia uma variável. O papo agora é que temos mais de uma variável para descobrir, então precisamos de mais de uma equação! Bora pra historinha.

Para entender sistemas, vamos voltar para o seu Joaquim, que agora esqueceu o preço do suco e do biscoito.

Joaquim sabe que o biscoito mais o suco custam juntos R $   5,00 . Chamando o preço do biscoito de b e do suco de s , temos:

b + s = 5

Não dá para resolver isso aí só com essa informação, pois temos duas incógnitas e somente uma equação. Perceba que ainda estamos no primeiro grau, pois cada uma dessas variáveis tem expoente 1 . Poderíamos ter, por exemplo:

b = 1 , s = 4 b = 2 , s = 3 b = 3 , s = 2

Todos esses valores satisfazem a igualdade. Para contornar isso, precisamos de mais uma equação, vamos seu Joaquim!

...

Lembrou! Um biscoito com refrigerante custa R $   7,00 . Vimos antes que o refrigerante custa R $   3,00 , então:

b + 3 = 7

Opa! Agora temos duas incógnitas, mas duas equações para nos ajudar!

b + s = 5 b + 3 = 7

Chamamos esse conjunto de equações de primeiro grau de sistema de equações de primeiro grau. Vamos resolvê-lo! Subtraindo 3 dos dois lados:

b + 3 - 3 = 7 - 3 ⟹ b = 4

Opa! O biscoito custa R $   4,00 . Podemos substituir seu valor na primeira equação agora: b + s = 5 ⟹ 4 + s = 5 ⟹ s = 1

Pronto, sabemos que o suco custa R $   1,00 agora! O conjunto solução será: S = b , s = 4,1

Resumindo, sistemas de primeiro grau são conjunto de equações de primeiro grau que se relacionam.

Podemos ter também mais de uma incógnita. O número de incógnitas deve ser igual ou menor que o número de equações independentes para que possa haver uma única solução. Não precisa se preocupar com a palavra “independente” agora, falaremos disso no futuro. :)

Equação do segundo grau

As equações de segundo grau são equações em que uma das incógnitas está ao quadrado e esse é o maior grau da equação.

Um bom exemplo para elas é dado por Cleiton, que jogou sua bola de tênis para o alto sem razão aparente.

A bola de tênis, saiu com velocidade inicial de 15 m / s e está sendo puxada de volta pela gravidade, que também não tinha mais nada para fazer naquele dia. Considerando g = 10 m / s 2 , a bola a 10 m de altura é descrita por:

V 0 t - 1 2 g t 2 = S ⟹ 15 t - 5 t 2 = 10

Reajustando os termos e dividindo tudo por 5 :

- t 2 + 3 t - 2 = 0

Para acharmos o tempo associado a essa altura, devemos achar t resolvendo a equação, mas como fazemos isso?

Resolvendo uma equação de segundo grau

As equações de segundo grau não são difíceis de resolver, vamos ver isso e voltamos ao problema acima.

Uma equação de segundo grau geral tem forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com a ≠ 0 e 0 no lado direito. Se aparecer uma equação de segundo grau nesta forma, mas com os termos embaralhados à direita e à esquerda da igualdade, é só isolar tudo do lado esquerdo e chegará nessa forma geral.

É importante escrever tudo dessa maneira para que possamos aplicar o coringa da solução das equações de segundo grau: a fórmula de Bháskara! Ela diz que as duas raízes dessa equação são:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Repare que só troca o sinal antes da raiz quadrada. Chamamos x 1 e x 2 de raízes da equação de segundo grau e os subscritos 1 e 2 nos x indicam um possível valor da incógnita que satisfaz a igualdade da equação. Como podemos ter dois valores para a incógnita, o conjunto solução poderá ter dois valores distintos.

Normalmente, escrevemos a fórmula de Bháskara desse jeito:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Podemos também escrever mais resumidamente se chamarmos o que está dentro da raiz de delta:

Δ = b 2 - 4 a c

Escrevemos a solução como sendo:

x = - b ± Δ 2 a

Porém, o Δ não está aí só para enfeitar a fórmula, ele tem um papel muito importante na solução.

As raízes podem ser classificadas com relação aos seus tipos. Não sei se você já percebeu que se a única diferença entre as duas raízes ( x 1 e x 2 ) é o sinal da raiz quadrada do delta, então se o delta for zero:

Δ = 0

x 1 = - b 2 a

x 2 = - b 2 a

As raízes serão dois números reais e iguais.

Se o delta for negativo:

Δ < 0

Estaremos tirando a raiz quadrada de um número negativo na nossa fórmula. Não existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais, por consequência, as raízes vão ser complexas e normalmente não servirão como resposta do seu exercício, já que costumamos trabalhar no conjunto dos números reais.

Se, por outro lado, o delta for positivo, a única coisa que vamos ter é que as raízes serão distintas e reais. Portanto:

  • Se Δ = 0 , temos raízes reais iguais.
  • Se Δ < 0 , temos raízes complexas distintas.
  • Se Δ > 0 , temos raízes reais distintas.

Sabendo disso tudo, podemos voltar para o nosso problema inicial. A bola do Cleitinho há 10 m de altura é descrita pela equação:

- t 2 + 3 t - 2 = 0

Comparando com a fórmula geral da equação de segundo grau, vemos que:

a = - 1 b = 3 c = - 2

Assim, usando a fórmula de Bháskara:

t 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ - 1 - 2 2 - 1 = - 3 ± 9 - 8 - 2 = - 3 ± 1 - 2

Assim sendo, temos:

t 1 = - 3 + 1 - 2 = 1 s

t 2 = - 3 - 1 - 2 = 2 s

A bola do Cleiton passa por essa altura quando tá subindo em t = 1 s e quando está descendo em t = 2 s Assim, a solução será:

S = 1,2

Equação de graus maiores

Bom, as equações de graus maiores são difíceis de serem resolvidas, então o que fazemos é fatorar o polinômio para que tenhamos um grau menor e consigamos resolver. Tipo:

x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 = 0

Suponha que você se depara com isso. Atualmente, temos uma fórmula para resolver isto, mas ela é muito complicada. Então o que fazemos é fatorar, tentar escrever isso como o produto de polinômios.

Como já vimos isto em outro tópico, vou fazer aqui rapidinho, só pra você entender a ideia.

Por inspeção, temos que x = 1 é raiz do polinômio acima, então ele pode ser escrito como:

x - 1 . a l g u m   o u t r o   p o l i n o m i o = 0

Se fizermos Briot-Ruffini, descobriremos que:

a l g u m   o u t r o   p o l i n ô m i o = x 2 - 5 x + 6

Então:

x - 1 x 2 - 5 x + 6 = 0

Portanto:

x - 1 = 0   o u   x 2 - 5 x + 6 = 0

x = 1

Ou:

x 2 - 5 x + 6 = 0

Fazendo Bháskara:

x 1 = 2   e   x 2 = 3

Então, a solução é x = 1   o u   x = 2   o u   x = 3 .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Vestibular da EEAR

A diferença entre as idades de duas pessoas é 20 anos e a razão é 4/9. Qual é a soma das idades das duas pessoas, em anos?

a)36

b)48

c)52

d)60

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Passo 1

O lance aqui é montar equações com os dados propostos. Vamos chamar a idade de uma pessoa de a e a outra de b . Se a diferença entre a idade das duas é 20 anos, então: a - b = 20

E a razão é:

b a = 4 9

Então temos o sistema:

a - b = 20 b a = 4 9

Poderíamos mudar a ordem de a e b nas duas equações, é só uma questão de nomenclatura.

Passo 2

Para resolver esse sistema, vamos deixar uma variável em relação a outra. Pegando a segunda equação:

b a = 4 9 ⟹ b = 4 9 a

Agora, substituímos a na primeira equação: a - b = 20 ⟹ a - 4 9 a = 20 ⟹ 5 9 a = 20 ⟹ 5 a = 180

a = 180 5 = 36

Agora, só lembrar que:

b = 4 9 a

E substituir o valor de a encontrado:

b = 4 9 ⋅ 36 = 16

Passo 3

A soma das duas será, portanto:

a + b = 36 + 16 = 52   a n o s

Já dá um jovem senhor. Letra c!

Resposta

52   a n o s

Letra c

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

A raiz da equação abaixo está compreendida entre qual intervalo de números inteiros consecutivos?

2 x - 3 + 5 x = 4 - 3 2 x

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Passo 1

Você pode pensar que está não é uma equação de primeiro grau por causa das raízes, mas isso não é verdade. As raízes estão nos coeficientes da equação e não na potência de x , dessa maneira, podemos resolver normalmente.

Lembrando que a raiz da equação é o valor número de x que satisfaz a equação. Então vamos achar o valor de x .

Primeiro, vamos tentar isolar o x : 2 x - 3 + 5 x = 4 - 3 2 x ⟹ 4 2 x + 5 x = 7

Deixando o x em evidência:

4 2 + 5 x = 7

Isolando: x = 7 4 2 + 5

Pronto, essa é a solução!

Passo 2

Mas só isso não basta, precisamos ver em qual intervalo de números inteiros podemos colocar isso. Veja que:

2 ≈ 1 , 41

Assim:

7 4 2 + 5 ≈ 7 4 ⋅ 1 , 41 + 5 = 7 5 , 64 + 5 = 7 10 , 64

Como o denominador é maior que o numerador, essa divisão vai ser menor que um. Da mesma maneira, como dividimos dois números positivos, o resultado também será positivo, ou seja, maior que zero.

Portanto, concluímos que o resultado está entre 0 e 1 :

S ∈ 0,1

Resposta

S ∈ 0,1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Uma pessoa esteve ¼ de sua vida solteira, 3/5 casada e nove anos viúva. Sua idade quando morreu era, em anos:

a)54

b)60

c)65

d)72

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Passo 1

Primeiramente vamos descartar a possibilidade da pessoa ter se divorciado, se não o problema não teria solução única.

Assim sendo, a vida da pessoa será o tempo que ela passou solteira, mais o tempo que passou casada acrescido do tempo que passou viúva. Veja também que o tempo solteira e casada está descrito em parcela da vida e não em anos, como acontece no tempo de viúva. Chamando o tempo de vida de v , então: v = 1 4 v + 3 5 v + 9 = 5 v + 12 v 20 + 9 = 1 7 20 v + 9 =

Isolando v :

v - 17 2 0 v = 9 ⟹ 3 2 0 v = 9 ⟹ v = 6 0

6 0 anos de altos casamentos e até que morte os separe.

Resposta

6 0   a n o s

Letra b .

Exercício Resolvido #4

Vestibular EEAR

A soma dos cubos das raízes da equação

2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1

É:

a)-343

b)-133

c)-7

d)-3

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Passo 1

Vamos tentar juntar isso aí e ver onde dá: 2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1  

Fazendo M.M.C.:

2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 x - 3 x 2 - 9 = 1

Multiplicando os dois lados pelo denominador : 2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 = x - 3 x 2 - 9

Veja que podemos escrever a equação de segundo grau como o produto de suas raízes: x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Assim, ficamos com: 2 x + 1 x - 3 x + 3 - 2 x - 3 = x - 3 x - 3 x + 3

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3

Temos que descartar valores x = 3 da nossa solução, se fizer parte, por conta desse corte.

Passo 2

Distribuindo:

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3 ⟹ 2 x 2 + 6 x + x + 3 - 2 = x 2 - 9

2 x 2 + 7 x + 1 = x 2 - 9 ⟹ x 2 + 7 x + 10 = 0

Pronto, conseguimos transformar isso tudo numa equação de segundo grau! Por Bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 7 ± 7 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 10 2 ⋅ 1 = - 7 ± 49 - 40 2 = - 7 ± 3 2

Logo:

x 1 = - 5 x 2 = - 2

Passo 3

Assim, a soma dos cubos das raízes será: x 1 3 + x 2 3 = - 5 3 + - 2 3 = - 125 - 8 = - 133

Letra b !

Resposta

- 133

Letra b .

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Qual o maior valor de k de modo que equação x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0 tenha uma das raízes nulas?

a)4

b)-1

c)-4

d)1

e)4 ou -1

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Passo 1

Veja que k é uma constante e fará parte do coeficiente da equação, não da sua variável. Assim, podemos escrever:   x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0

Veja que, se a parte em pareteses for zero, então podemos escrever: x 2 - 6 x = 0 ⟹ x x - 6 = 0

Que tem raízes x 1 = 0 e x 2 = 6 . Dessa forma, precisamos que:

k 2 - 3 k - 4 = 0

Passo 2

Agora sim, consideramos k a variável de uma equação de segundo grau, porque queremos descobrir o valor em que a equação zera. Para tal, vamos usar Bhaskara: k 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 4 2 ⋅ 1 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 25 2 = 3 ± 5 2

Logo, teremos: k 1 = 4 k 2 = - 1

A maior valor de k que satisfaz o problema será, portanto, 4 . Letra a . Não confunda com a e , ele pediu o maior valor, não o conjunto solução!

Resposta

k = 4

Letra a .

Exercício Resolvido #6

Vestibular EEAR

É verdadeira a afirmação: A equação x 8 - 113 x 4 + 36 = 0

a) admite 4 raízes reais irracionais

b) admite 4 raízes reais racionais positivas

c) não admite raízes reais

d) admite 4 raízes reais inteiras

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Passo 1

Você pode estar pensando: UÉ, isso não é uma equação de segundo grau! Tem um x 8 no meio.

Sua afirmação faz sentido, mas como todos os expoentes do polinômio são divisíveis por 2 , podemos fazer uma substituição:

u = x 4

E chegar a: x 8 - 113 x 4 + 36 ⟹ u 2 - 113 u + 36 = 0

Que é uma equação de segundo grau!

Passo 2

Resolvemos ela exatamente igual a uma equação de segundo grau normal. Vamos ver as raízes por Bhaskara: u 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 113 ± 113 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 36 2 ⋅ 1 = 113 ± 12769 - 144 2

= 113 ± 12625 2

Nem precisamos continuar calculando isso aí. Veja que a parte dentro do Δ será positiva, logo teremos duas raízes reais e distintas. Essa raiz também não é racional, logo o resultado será irracional.

Passo 3

Esse achado é válido para u , mas precisamos determinar para x . Como: u = x 4 ⟹ x = ± u 4  

Precisamos que a raiz de u seja maior que zero para que o acima que:

x = ± u 4

Exista. Repare também que uma raiz de u , leva a duas raízes de x , uma vez que aparece o sinal de ± ali.

O valor de 12625 é menor que 113 , e portanto, as duas raízes de u serão positivas e distintas e irracionais.

Dessa forma, existem 4 raízes de x que são reais irracionais e distintas entre si u 1 4 , - u 1 4 , u 2 4 , - u 2 4 .

Resposta

Letra a .

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