Responde Aí

Equação do 1º Grau

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí. E vamos nessa aprender tudo sobre Equações do 1º Grau

Equações polinomiais do primeiro grau

As equações polinomiais do primeiro grau, ou simplificando, as equações do 1º grau são as equações parecidas com essa aqui:

Ela possui três componentes chaves: os valores conhecidos, que são os dados do problema; o valor desconhecido que queremos achar que é chamado de incógnita; e o sinal de igualdade

Ou seja, as equações funcionam como uma balança. tudo que está do lado direito, tem que ser igual ao que está do lado esquerdo.

Então, no exemplo , a gente não sabe o valor de (pois ele é uma incógnita). Mas a gente sabe que se multiplicar por dois e subtrair o resultado tem que ser zero!

Pensando um pouquinho, a gente percebe que deve ser , afinal, .

Mas nem sempre é assim tão fácil.

Passando valores de um lado pra outro da equação

Para resolver equações mais complexas usamos algumas regrinhas.

A principal dela é que podemos passar uma operação para o outro lado da equação invertendo a operação

Resolvendo equação do 1º grau
Resolvendo equação do 1º grau

Exemplo 1

Certo dia, Joaquim foi comparar um lanche. O salgado custava e o combo salgado com refrigerante custava . Qual o preço do refrigerante?

A gente pode resolver esse problema usando uma equação. A gente sabe que o preço de um salgado mais refrigerante é igual ao preço do combo. Vamos escrever isso:

ççç

A gente já sabe que o salgado custa e que o combo custa

ç

Porém, escrever “preço do refrigerante” fica muito grande e não é nada prático. Então vamos substituir isso por uma única letra: , que representa o preço do refrigerante:

E olha só! Chegamos em uma equação do primeiro grau! E agora? Como resolvemos isso?

A gente passa o para o outro lado da equação:

E agora resolvemos:

E chegamos que , ou seja, o preço do refrigerante é

Videoaula

Quer saber mais sobre equações do primeiro grau? Então confere esse vídeo sobre o tema:

Agora confere uns exercícios pra praticar 👇

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a equação do primeiro grau:

3 ( x   –   4 )   –   ( 2   +   x )   =   3 x   – 5

Passo 1

Vamos lá!! Nesse exercício queremos encontrar o valor de x que satisfaça a equação 3 ( x   –   4 )   –   ( 2   +   x )   =   3 x   – 5

Certo?

Para encontrarmos o valor de x vamos isolar ele de um lado da equação. Assim, o resultado ficará do outro lado da igualdade!!

Passo 2

Por onde começamo então? Se você reparar, temos um x - 4 e um 2 + x dentro de um parêntesis, certo?

Vamos tentar sumir com eles para facilitar nossa vida. Para isso, vamos fazer a multiplicação distributiva. Repare que no termo 2 + x é como se tivéssemos um - 1 multiplicando:

Fazendo a multiplicação, ficamos com

Podemos dar uma arrumada fazendo as multiplicações do lado esquerdo da equação

Beleza?!

Agora vamos somar todos os termos que tem o x e todos os que não tem x em ambos os lados da equação

Assim, ficamos com

Show de bola?!

Passo 3

Próximo passo vai ser isolar o que tem x de um lado da equação e o que não tem x do outro lado!!

Para isso, vamos somar ambos os lados da equação por + 14

Somando novamente tudo o que não tem x em ambos os lados da equação, ficamos com

Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Aqui poderíamos pegar o - 14 e passar pro outro lado invertendo o sinal: como - 14 é negativo, passamos pro outro lado com o sinal de menos “+“ na frente!

Podemos agora somar os termos que não tem x do lado direito da equação, e assim ficamos com

Passo 4

Continuando o nosso objetivo de isolar o x , iremos passar o termo 3 x do lado direito da equação para o lado esquerdo. Assim ficaremos com todos os termos que tem x do lado esquerdo e os termos que não tem x do lado direito da equação!!

Como o 3 x é positivo, ao passar pro outro lado ele ficará com o sinal negativo!

Agora é só fazer a continha do lado esquerdo

Pra finalizaaaaar, multiplicar ambos os lados da equação por ( - 1 ) , assim conseguimos sumir com o sinal negativo do lado esquerdo da equação:

E assim encontramos o nosso valor de x !!

Show de bola?!

Passo 5

Podemos confirmar que o valor que encontramos para x está correto. Para isso, basta substituirmos na equação do enunciado o valor que encontramos.

Nossa equação do enunciado é

Substituindo o valor x = - 9 nessa equação

Fazendo as continhas em ambos os lados da equação, temos

Opa!!! Se você reparar temos essa igualdade e verdadeira, pois - 32 é igual a - 32 !! Então o valor de x que encontramos está correto!!

Resposta

x = - 9

Exercício Resolvido #2

Qual é o valor de x que poderá satisfazer a equação do primeiro grau:

4 x + 2 + 3 ( 1 +   x ) = 3 x   – x   – 5

Passo 1

Opaaa! Nesse exercício queremos encontrar o valor de x que satisfaça a equação 4 x + 2 + 3 ( 1 +   x ) = 3 x   – x   – 5

Certo? Como podemos fazer isso???

Para encontrarmos o valor de x vamos isolar ele de um lado da equação. Assim, o resultado ficará do outro lado da igualdade!!

Passo 2

Por onde começamos???? Se você reparar, temos um x + 1 dentro de um parêntesis, certo? Vamos tentar sumir com ele para facilitar nossa vida. Para isso, vamos fazer a multiplicação distributiva:

Fazendo a multiplicação, ficamos com

Beleza?!

Agora vamos somar todos os termos que tem o x e todos os que não tem x em ambos os lados da equação

Assim, ficamos com

Show de bola?!

Passo 3

Próximo passo vai ser isolar o que tem x de um lado da equação e o que não tem x do outro lado!!

Para isso, vamos subtrair ambos os lados da equação por - 2 x

Somando novamente tudo o que tem x em ambos os lados da equação, ficamos com

Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Aqui poderíamos pegar o 2 x e passar pro outro lado invertendo o sinal: como 2 x é positivo, passamos pro outro lado com o sinal de menos “-“ na frente!

Passo 4

Continuando o nosso objetivo de isolar o x , iremos passar o termo + 5 do lado esquerdo da equação para o lado direito.

Como ele é positivo, iremos inverter o sinal ao passar pro outro lado:

Agora é só fazer a continha do lado direito

Pra finalizaaaaar, vamos passar o 5 que estão multiplicando o x do lado esquerdo da equação para o lado direito. Assim conseguimos isolar o nosso x !!

Como ele está multiplicando o x , ao passar para o lado direito iremos inverter o sinal. Ou seja, ele passará dividindo:

Agora só falta resolver a divisão!!!! E assim conseguimos chegar no nosso valor de x :

Show de bola?!

Passo 5

Podemos confirmar que o valor que encontramos para x está correto. Para isso, basta substituirmos na equação do enunciado o valor que encontramos.

Nossa equação do enunciado é

Substituindo o valor x = - 2 nessa equação

Fazendo as continhas em ambos os lados da equação, temos

Opa!!! Se você reparar temos essa igualdade e verdadeira, pois - 9 é igual a - 9 !! Então o valor de x que encontramos está correto!!

Resposta

x = - 2

Exercício Resolvido #3

Determine dois números onde sua soma é 25 e sua difereça é 5.

Passo 1

Vamos lá! Queremos determinar dois números que chamaremos de x e y onde a soma é 25

x + y = 25

E, além disso, sua diferença é 5

x - y = 5

Beleza?!

Aqui se você reparar na verdade teremos um sisteminha

x + y = 25 x - y = 5

E precisamos resolvê-lo para encontrar os valores de x e y !

Passo 2

Para resolver o sistema

Vamos utilizar o método da substituição que nada mais é que encontrar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra. Assim, vamos isolar o x na segunda equação

Para isso, somaremos ambos os lados da equação por + y

Fazendo as continhas, ficamos com

Passo 3

Agora substituiremos esse valor de x na 1ª equação

Substituindo o valor x = 5 + y , temos

Fazendo as continhas do lado esquerdo da equação, ficamos com

Qual o próximo passo?? Isolar o y !! Para isso, vamos passar o 5 para o lado direito da equação

Agora só falta passar o 2 dividindo para o outro lado da equação, já que ele está multiplicando o y . Assim,

Ou seja, fazendo a divisão, encontramos o valor do y !

Beleza?!

O que falta agora?????

Passo 4

Pra fechar com chave de outro, vamos substituir o valor de y = 10 na segunda equação para encontrar o valor de x !

Assim, substituindo y = 10 , temos

Ou seja, encontramos os valores de x e y !

x = 15

y = 10

Beleza?!

Passo 5

Podemos conferir se esses valores que encontramos satisfazem as condições do nosso enunciado: Determine dois números onde sua soma é 25 e sua difereça é 5.

x + y = 25

15 + 10 = 25

E

x - y = 5

15 - 10 = 5

Ou seja, os valores estão corretinhos!!!

Resposta

x = 15

y = 10

Exercício Resolvido #4

Se somarmos 4 números consecutivos teremos o número 62 . Quais são esses 4 números?

Passo 1

O enunciado nos diz que se somarmos 4 números consecutivos teremos o número 62 . Se chamarmos o primeiro número de x , os outros serão

x + 1

x + 2

x + 3

Concorda?!

Sabemos pelo enunciado que a soma desses quatro núemros consecutivos dá 62 . Assim,

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 62

Beleza?!

Agora é só resolver a equação e encontrar o valor de x para depois verificarmos o valor de cada um dos 4 números!!

Passo 2

Para começar a resolver a equação

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 62

Somaremos do lado esquerdo os termos que possuem   x e os que não possuem x

4 x + 6 = 62

Beleza?!

Agora vamos deixar o que tem x de um lado e o que não tem x do outro lado. Para isso, precisamos colocar o 6 do lado direito da equação. Ao trocar de lado, como o 6 é positivo, ao ir para o lado direito ele vai com o sinal de

4 x = 62 - 6

Fazendo a conta do lado direito da equação

4 x = 56

Show de bola?!

Para isolar e encontrar o valor de x vamos passar o 4 que está multiplicando o x do lado esquerdo para o lado direito da equação. Como ele está mutiplicado, passará dividindo para o outro lado

x = 56 4

Fazendo a continha, encontramos o valor de x

x = 14

Beleza?!

Passo 3

Agora precisamos encontrar os 4 valores consecutivos que, quando somados, dá 62.

x

x + 1

x + 2

x + 3

Assim, como x = 14

x + 1 = 14 + 1 = 15

x + 2 = 14 + 2 = 16

x + 3 = 14 + 3 = 17

Ou seja, os 4 números consecutivos que quando somados dão 62 são 14 , 15 , 16 e 17 !!

Passo 4

Para conferir se a resposta que encontramos está correta, podemos conferir se de fato ao somar esses 4 números teremos 62

14 + 15 + 16 + 17 = 62

Ou seja, o valor que encontramos está correto!!!

Resposta

14 , 15 , 16 e 17

Exercício Resolvido #5

3/5 de um número somados a 1/2 é igual a 2/3 desse número. Indique a opção que apresenta esse número.

  1. 0  
  2. 1
  3. 20 33
  4. 33 20
  5. 15 2

Passo 1

Bom, vamos lá! Vamos tentar Traduzindo o conteúdo do enunciado em uma equação?! O enunciado diz,

3 5 d e   u m   n ú m e r o   s o m a d o s   a 1 2   é   i g u a l   a 2 3 d e s s e   n ú m e r o

Bugou?! hahaha

Vamos escrever reescrever essa frase de uma forma matemática e encontrar o valor “desse número” misterioso, beleza?!

Passo 2

Esse número que não sabemos qual é vamos chamar de x , beleza?!

Assim, podemos escrever

Tá... mas o que quer dizer 3 5 de um número? O que essa frase quer nos dizer é que queremos calcular 3 5 de um número (que estamos chamando de x ). Assim, no fundo o que estamos fazendo é a multiplicação de 3 5 com x !

Ou seja, colocando a frase toda no “matematiquês”, teremos

Beleza?!

Nosso objetivo é “isolar” o x , assim conseguimos encontrar o valor dele!

Passo 3

Agora vamos organizar e fazer as continhas!!

3 5 x + 1 2 = 2 3 x

Primeiro vamos subtrair ambos os lados da equação por - 1 2 :

Fazendo as continhas, ficaremos com

Show de bola?!

Passo 4

Agora vamos jogar tudo o que tem x pro mesmo lado da equação!! Como podemos fazer isso?

Faremos isso substraindo ambos os lados da equação por - 2 3 x :

Uma outra forma de ver isso é que quando passamos os números de um lado da igualdade pro outro, invertemos a operação. Como o 2 3 x é positivo, passamos pro outro lado com o sinal de “-“ na frente!

Fazendo as continhas, ficamos com

Como o 3 5 e o - 2 3 estão acompanhados do x , podemos juntar eles! MAS PERAEEEEE, OS DENOMINADORES SÃO DIFERENTES! Não podemos apenas subtrair os dois!! Precisamos fazer o mmc entre os fatores 5 e 3   do denominador e multiplicamos o numerador pelo oposto do número que está no denominador:

EPAAAAA!! Agora se você reparar as duas frações possuem o mesmo denominador, aí podemos fazer a subtração repetindo o denominador!!!

Repare que 9 - 10 = - 1 , concorda? Então no numerador teremos - 1 e o denominador de repete:

Pra finalizar, jogaremos pro outro lado o - 1 15 e assim conseguiremos isolar nosso x !!!

Se o - 1 15 está multiplicando o x do lado esquerdo, ele pode passar pro outro lado da equação invertendo a operação! Logo, ele passa pro outro lado dividindo:

Como saímos dessa? Quando temos divisão de frações podemos multiplicar a primeira equação pelo inverso da segunda. Assim:

x = - 1 2 - 15 1

Multiplicando os numeradores e os denominadores, temos

x = 15 2

Ou seja, nossa resposta é a letra (E)!!

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #6

Mariana é 8 anos mais velha que sua irmã. Daqui a sete anos ela terá o dobro da idade de sua irmã. Quantos anos Mariana tem agora?

Passo 1

Bom, vamos lá! Queremos saber a idade da Mariana, certo? Sabemos que ela é 8 anos mais velha que sua irmã. Então vamos chamar de x a idade da irmã dela

x = i d a d e   d a   i r m ã

Como Mariana é oito anos mais velha que sua irmã, idade da Mariana agora é

x + 8

Beleza?!

Portanto, se encontrarmos o valor de x , descobrimos a idade de Mariana agora!!

Tá... mas como faremos pra calcular o valor de x ? É o que veremos agora!!

Passo 2

Para descobrir o valor de x vamos continuar usando as informações que são dadas no enunciado pra gente. Show de bola?!

No enunciado diz que daqui a sete anos, Mariana terá o dobro da idade de sua irmã. Como podemos escrever isso de uma forma matemática?

Vimos no passo anterior que

x = i d a d e   d a   i r m ã

Assim, daqui a sete anos, a idade da irmã da Mariana será

x + 7 = i d a d e   d a   i r m ã

Beleza?! Da mesma forma, a idade de Mariana agora é

x + 8 = i d a d e   d e   M a r i a n a

Então qual será a idade da Mariana daqui a sete anos? Será

x + 8 + 7

Show de bola?!

Se você reparar, podemos somar o 8 + 7 que ficaremos com

x + 15

Concorda?!

Além disso, no enunciado diz pra gente que daqui a sete anos Mariana terá o dobro da idade de sua irmã. Assim,

Beleza?!

Passo 3

Agora vamos juntar tudo e encontrar o valor de x !!

Para isso, vamos ler a frase do enunciado novamente: Daqui a seis anos Mariana terá o dobro da idade de sua irmã, ou seja,

Aeeeee, agora vamos fazer as continhas para encontrar o valor de x !!

Passo 4

Vamos lá! Temos a seguinte equação

x + 15 = 2 x + 7

Vamos fazer a distributiva do lado direito da equação

Ficando com

x + 15 = 2 x + 14

Beleza?!

Agora vamos somar ambos os lados da equação por - x

x + 15 - x = 2 x + 14 - x

15 = x + 14

E pra finalizar vamos somar - 1 4 em ambos os lados da equação

15 - 14 = x + 14 - 14

1 = x

OPAAAAAAA! Encontramos o valor de x !!! O que falta entao???

Lembra que Mariana é oito anos mais velha que sua irmã????

I d a d e   d e   M a r i a n a = x + 8

Ou seja,

I d a d e   d e   M a r i a n a = 1 + 8

I d a d e   d e   M a r i a n a = 9

Ou seja, Mariana agora tem 9 anos!

Belezuuura?!

Resposta

Mariana agora tem 9 anos.

Exercício Resolvido #7

Sabemos que quatro irmãos juntos tem 50,00 . Mariana tem 5,00 a mais que Juliana. Juliana tem 4,00 a mais que João e João 5,00 a mais que Breno. Quantos reais cada um deles tem?

Passo 1

Vamos lá! Para resolver esse problema primeiro precisamos compreender o enunciado e depois vamos montar a equação para encontrar quantos reais cada um dos irmãos tem.

Para compreender o enunciado, vamos identificar os dados conhecidos e os desconhecidos, beleza?!

Sabemos que Mariana tem 5,00 a mais que Juliana. Juliana tem 4,00 a mais que João e João 5,00 a mais que Breno, mas não sabemos quantos reais Breno tem, então vamos chamar de x a quantidade de reais que Breno tem:

x = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   B r e n o   t e m

Passo 2

Vamos continuar com o raciocínio para montar a nossa equação...

Sabemos que João tem 5,00 a mais que Breno, assim

x + 5 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J o ã o   t e m

Da mesma forma, Juliana tem 4,00 a mais que João. Portanto,

x + 5 + 4 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J u l i a n a   t e m

Podemos fazer a soma dos termos que não tem x

x + 9 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J u l i a n a   t e m

Por fim, Mariana tem 5,00   a mais que Juliana

x + 9 + 5 = q u a n t i d a d e   d e   r e i a s   q u e   M a r i a n a   t e m

Somando os termos que não possuem x , ficamos com

x + 14 = q u a n t i d a d e   d e   r e i a s   q u e   M a r i a n a   t e m

Show de bola?!

Passo 3

Agora para montar a equação precisamos utilizar a informação de que os quatro irmão juntos tem 50,00 .

Assim, somando a quantidade de reais de todos os irmãos e igualando a 50,00 temos

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor que cada irmão tem!!!

Lembra que x = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   B r e n o   t e m

Assim,

x = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   B r e n o   t e m = 5,5   r e a i s

Beleza?!

Da mesma forma, para os outros irmãos

x + 5 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J o ã o   t e m

5,5 + 5 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J o ã o   t e m

10,5 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J o ã o   t e m

Ou seja, João tem 10,5 reais.

Continuando....

x + 9 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J u l i a n a   t e m

5,5 + 9 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J u l i a n a   t e m

14,5 = q u a n t i d a d e   d e   r e a i s   q u e   J u l i a n a   t e m

Ou seja, Juliana tem 10,5 reais.

E para Mariana

x + 14 = q u a n t i d a d e   d e   r e i a s   q u e   M a r i a n a   t e m

5,5 + 14 = q u a n t i d a d e   d e   r e i a s   q u e   M a r i a n a   t e m

19,5 = q u a n t i d a d e   d e   r e i a s   q u e   M a r i a n a   t e m

Portanto, Mariana tem 19,5 reais.

Beleeeeza?!

Passo 5

Podemos confirmar que os valores que encontramos para cada irmão está correto. Para isso, vamos somar o valor que cada irmão tem e verificar se dá 50,00   no total:

Fazendo as continhas ficamos com

Ou seja, a igualdade é verdadeira e o valor que encontramos está correto!!!

Resposta

B r e n o   t e m   5,5   r e a i s

J o ã o   t e m   10,5   r e a i s

J u l i a n a   t e m   14,5   r e a i s

M a r i a n a   t e m   19,5   r e a i s

Exercício Resolvido #8

A diferença entre as idades de duas pessoas é 20 anos e a razão é 4/9. Qual é a soma das idades das duas pessoas, em anos?

a)36

b)48

c)52

d)60

Passo 1

O lance aqui é montar equações com os dados propostos. Vamos chamar a idade de uma pessoa de a e a outra de b . Se a diferença entre a idade das duas é 20 anos, então: a - b = 20

E a razão é:

b a = 4 9

Então temos o sistema:

a - b = 20 b a = 4 9

Poderíamos mudar a ordem de a e b nas duas equações, é só uma questão de nomenclatura.

Passo 2

Para resolver esse sistema, vamos deixar uma variável em relação a outra. Pegando a segunda equação:

b a = 4 9 ⟹ b = 4 9 a

Agora, substituímos a na primeira equação: a - b = 20 ⟹ a - 4 9 a = 20 ⟹ 5 9 a = 20 ⟹ 5 a = 180

a = 180 5 = 36

Agora, só lembrar que:

b = 4 9 a

E substituir o valor de a encontrado:

b = 4 9 ⋅ 36 = 16

Passo 3

A soma das duas será, portanto:

a + b = 36 + 16 = 52   a n o s

Já dá um jovem senhor. Letra c!

Resposta

52   a n o s

Letra c

Exercício Resolvido #9

A raiz da equação abaixo está compreendida entre qual intervalo de números inteiros consecutivos?

2 x - 3 + 5 x = 4 - 3 2 x

Passo 1

Você pode pensar que está não é uma equação de primeiro grau por causa das raízes, mas isso não é verdade. As raízes estão nos coeficientes da equação e não na potência de x , dessa maneira, podemos resolver normalmente.

Lembrando que a raiz da equação é o valor número de x que satisfaz a equação. Então vamos achar o valor de x .

Primeiro, vamos tentar isolar o x : 2 x - 3 + 5 x = 4 - 3 2 x ⟹ 4 2 x + 5 x = 7

Deixando o x em evidência:

4 2 + 5 x = 7

Isolando: x = 7 4 2 + 5

Pronto, essa é a solução!

Passo 2

Mas só isso não basta, precisamos ver em qual intervalo de números inteiros podemos colocar isso. Veja que:

2 ≈ 1 , 41

Assim:

7 4 2 + 5 ≈ 7 4 ⋅ 1 , 41 + 5 = 7 5 , 64 + 5 = 7 10 , 64

Como o denominador é maior que o numerador, essa divisão vai ser menor que um. Da mesma maneira, como dividimos dois números positivos, o resultado também será positivo, ou seja, maior que zero.

Portanto, concluímos que o resultado está entre 0 e 1 :

S ∈ 0,1

Resposta

S ∈ 0,1

Exercício Resolvido #10

Uma pessoa esteve ¼ de sua vida solteira, 3/5 casada e nove anos viúva. Sua idade quando morreu era, em anos:

a)54

b)60

c)65

d)72

Passo 1

Primeiramente vamos descartar a possibilidade da pessoa ter se divorciado, se não o problema não teria solução única.

Assim sendo, a vida da pessoa será o tempo que ela passou solteira, mais o tempo que passou casada acrescido do tempo que passou viúva. Veja também que o tempo solteira e casada está descrito em parcela da vida e não em anos, como acontece no tempo de viúva. Chamando o tempo de vida de v , então: v = 1 4 v + 3 5 v + 9 = 5 v + 12 v 20 + 9 = 1 7 20 v + 9 =

Isolando v :

v - 17 2 0 v = 9 ⟹ 3 2 0 v = 9 ⟹ v = 6 0

6 0 anos de altos casamentos e até que morte os separe.

Resposta

6 0   a n o s

Letra b .