Introdução a Conjuntos

Teoria Completa

Faaaaaaala pequeno gafanhoto!!! Pra você que está chegando agora no Responde Aí, se prepara pra arrasar nas suas provas de forma beeeem menos desesperada, vai dar até pra rolar umas cervas hahahah Vamos ao que interessa!

Para começar esse assunto gostoso, vou te pedir pra pensar em conjuntos como se fosse um filtro!

“Um filtro? WTF”

Isso mesmo, o conjunto nada mais é que um cara que reúne objetos (que chamaremos de elementos) que tem características comuns!

Pensa comigo: eu te digo que criei um conjunto com todos os alimentos que ficam na geladeira. Vamos pensar quais alimentos que poderiam fazer parte desse conjunto: requeijão, presunto, leite, linguiça e por aí vai.

Viu só? A diferença é que na sua faculdade você verá conjuntos com números!

Notação

Bom, nós temos uma maneira de escrever nossos nomes (precisa começar com letra maiúscula) e os conjuntos também tem. Quando vamos nos referir a algum conjunto, ele deverá ser chamado de uma única letra maiúscula:

c o n j u n t o   A

Além disso, como falei ali em cima, um conjunto pode conter objetos, e esses objetos nós chamaremos de elementos! Quando esses elementos não são números nem palavras, são representados por letras únicas e minúsculas.

e l e m e n t o s   a , b ,   c

Por fim, você precisa saber que um conjunto é apresentado entre chaves e os elementos são separados por vírgulas!

A = { a , b , c }

Representação por extenso, por enumeração e diagrama de Venn

Como está no título, temos três formas de representar um conjunto!

Por extenso

Vamos voltar ao conjunto que eu criei, que eu vou chamar de P :

P = { a l i m e n t o s   q u e   f i c a m   n a   g e l a d e i r a }

Isso que está aqui em cima é a representação por extenso do conjunto: eu escrevo qual a característica dos meus elementos.

Nos seus exercícios pode aparecer dessa forma:

A = { x : x ≥ 0   e   x   é   p a r }

Esse x aparece só para você pensar em todos os números que possam obedecer a isso aí. A gente lê da seguinte forma:

" A   é   u m   c o n j u n t o   f o r m a d o   p o r   e l e m e n t o s   x ,   t a l   q u e   x   é   u m   n ú m e r o   p a r   m a i o r   o u   i g u a l   q u e   0 "

Por enumeração

Agora olha só:

P = r e q u e i j ã o ,   p r e s u n t o ,   l e i t e ,   l i n g u i ç a , …

Essa seria a representação por enumeração, eu estou enumerando, expondo os elementos do meu conjunto!

Nos seus exercícios pode aparecer dessa forma:

A = { 0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   … }

Diagrama de Venn

Já chego aqui jogando o diagrama mesmo:

O que a gente faz é isso mesmo: desenha um formato normalmente oval, coloca os elementos dentro da bolinha e coloca o nome em maiúsculo do lado de fora, perto da bola!

Nos seus exercícios seria assim:

Claro que estão faltando muuuuitos números, então a resposta não seria exatamente essa.

Conjuntos Finitos, Infinitos, Unitários e Vazios

Bom, essa classificação dos conjuntos é dada através da quantidade de elementos que o conjunto possui.

Conjuntos Finitos: possuem quantidade finita de elementos.

A = { x |   x   é   p r i m o   e   x < 7 } = { 2 ,   3 ,   5 }

Conjuntos Infinitos: possuem quantidade infinita de elementos.

A = { x |   x ≥ 0   e   x   é   p a r } = { 0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   … }

Conjuntos Unitários: possuem apenas um elemento.

A = { x |   x   é   p a r   e   x   é   p r i m o } = { 2 }

Conjuntos Vazios: não possuem elementos e são representados por {   } ou

A = { x |   x   é   p r i m o   e   x < 2 } =   = ∅

Pertence, está contido e contém

Noooooossa, essa parte costuma dar um nó na nossa cabeça, mas relaxa que a partir de hoje você vai entender a diferença entre esses caras!!!

Pertence:

n o t a ç ã o ∈

A gente usa esse cara quando queremos ver se um ELEMENTO pertence a um CONJUNTO.

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4

1 ∈ A

5 ∉ A

5 não pertence ao conjunto, então cortamos o sinal de pertencer. Olha outro exemplo!

B = 0 ,   1 ,   2 ,   3

0 ∈ B

2 ∉ B

2 ,   3 ∈ B

Veja que um elemento de B é um conjunto e isso pode acontecer! É importante perceber que na última linha, dizemos que o conjunto é um elemento de B e isso é verdade!

Está contido:

n o t a ç ã o   ⊂

A gente usa esse cara quando queremos ver se um CONJUNTO está contido em outro CONJUNTO (se é subconjunto de um conjunto). Lembrando que um subconjunto é um conjunto cujos elementos pertencem a outro conjunto.

  A = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 }

Por exemplo, o conjunto { 1 ,   2 } é um subconjunto de A . Então é justo dizer que:

1 ,   2 ⊂ A

2 ,   3 ,   4 ,   5 ⊂ A

{ 6 ,   7 } ⊄ A

{ 6 ,   7 } não é um subconjunto de A , ele é um elemento!!! Seria um subconjunto por exemplo { 2 , 6 ,   7 }

Contém:

n o t a ç ã o   ⊃

A gente usa esse cara quando queremos ver se um CONJUNTO contém um outro CONJUNTO (subconjunto).

A 1 ,   2 ,   3 ,   4     e     B = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5

B ⊃ A

OBS.: Aqui fica uma dica, o cara que está do lado das “perninhas” desse c meio cursivo é quem contém o outro que está do lado da “barrigunha”. Tipo, eu nem gravo, apenas interpreto o símbolo, olha só:

A ⊂ B

O B está do lado das perninhas, então eu digo que B contém A e também digo que A está contido em B , porque o A está do lado da barriguinha. MAS, como a “barriguinha” aparece antes da “perninha”, o correto é falar que A está contido em B .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Representar, através de uma propriedade conveniente, os seguintes conjuntos:

a   A = { 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 , … }

b   B = 1 ,   2 ,   3 ,   6

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Passo 1

Olááá! Anjx, o que ele quer nesse exercício é que você passe essa notação numérica para a notação por extenso! Então vamos tentar descrever cada conjunto através de palavras.

( a )

Dá uma olhada nesse conjunto:

A = 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   …

Uma característica interessante é que todos os números presentes nesse conjunto são múltiplos de 5 , concorda comigo? Então seria justo escrevermos assim:

A = { x :   x   é   m ú l t i p l o   d e   5 }

Passo 2

( b )

Dá uma olhada nesse conjunto:

B = 1 ,   2 ,   3 ,   6

“Nossa, agora eu não estou vendo naaaaada de comum entre esses números!”

Relaxa, eu te ajudo! Perceba que todos eles são divisores de 6 e não negativos, concorda comigo? Então seria justo escrevermos assim:

B = { x : x   é   d i v i s o r   d e   6 }

Resposta

a   A = x : x ≥ 0   e   x   é   m ú l t i p l o   d e   5

b   B = x : x ≥ 0   e   x   é   d i v i s o r   d e   6

Exercício Resolvido #2

Representar por enumeração, os seguintes conjuntos:

a   A = x : x   é   d i v i s o r   d e   12

b   B = x : x ≥ 2   e   x   é   p a r

c   C = { x : x < 11   e   x   é   p r i m o }

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Passo 1

Bora lá representar esses trens de forma numérica. O que temos que fazer aqui é verificar cada número que respeita a condição do conjunto :D

( a )

Dá uma olhada aqui:

A = { x : x   é   d i v i s o r   d e   12 }

Vamos lá, você consegue lembrar do dos divisores de 1 2 ? Se não, não tem problema. Lembre-se de que 1 é divisor de todos os números. Então, POR ENQUANTO, temos:

A = 1

Veja que 2 é divisor de 12 , o 3 também é, o 4 e o 6 também. Além disso, todo número diferente de 0 é divisor dele mesmo. Então temos:

A = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   6 ,   12 }

Passo 2

Bora fazer a letra ( b ) :

B = x : x ≥ 2   e   x   é   p a r

Cara, os números pares são aqueles que são divisíveis por 2 . Poderíamos começar pensando no 0 , mas a descrição diz que x ≥ 2 . Então nosso conjunto será:

B = { 2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   … }

Perceba que o conjunto é infinito, já que os números pares são infinitos.

Passo 3

Finalmente a letra ( c ) :

C = x : x < 11   e   x   é   p r i m o

Vamos começar lembrando dos primos – aquele cara que só tem o 1   e ele mesmo como seu divisor:

{ 2 ,   3 ,   5 ,   7 ,   11 ,   13 ,   17 ,   … }

Mas repara que ele pediu somente aqueles menores que 11 . Então:

C = { 2 ,   3 ,   5 ,   7 }

Resposta

a   A = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   6 ,   12

b   B = 2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   …

c   C = { 2 ,   3 ,   5 ,   7 }

Exercício Resolvido #3

Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os no outro formato (por enumeração ou por extenso):

a   A = { 4 ,   9 ,   16 ,   25 }

b   B = { x : x   é   p a r   e   x   é   p r i m o }

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Passo 1

a

Vamos começar com este aqui:

A = 4 ,   9 ,   16 ,   25

Aqui o conjunto foi descrito por enumeração dos elementos. Vamos passa-lo para a descrição por extenso:

Perceba que o primeiro elemento é 2 2 = 4

O segundo elemento é 3 2 = 9

O terceiro elemento é 4 2 = 16

O quarto elemento é 5 2 = 25

Então podemos escrever o seguinte:

A = x 2 : x   é   i n t e i r o   e     2 ≤ x ≤ 5  

Lendo o que escrevemos, quer dizer o seguinte: O conjunto A é formado por todos elementos x 2 tal que x é número inteiro entre 2 e 5 .

Passo 2

( b )

Nessa questão temos:

B = x : x   é   p a r   e   x   é   p r i m o

Aqui o conjunto está descrito por extenso. Então devemos descrevê-lo por enumeração. Primeiro, os números pares são:

0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   …

Desses números, temos que pegar apenas aqueles que são primos, ou seja, que só têm o 1 e ele mesmo como divisor. Nesse caso, apenas o número 2 é primo e par. O 0 não pode ser, pois não é divisor de si mesmo.

B = 2

Resposta

a C o n j u n t o   d e s c r i t o   p o r   e n u m e r a ç ã o .   A = x 2 : x   é   i n t e i r o   e     2 ≤ x ≤ 5    

b C o n j u n t o   e s c r i t o   p o r   e x t e n s o .   B = { 2 }

Exercício Resolvido #4

Dados os conjuntos A = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 } e B = { a ,   b ,   c ,   d } , faça:

a A × B

( b ) B × A

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Passo 1

a

Bom, aqui vamos fazer o produto cartesiano A × B , isso quer dizer que faremos pares ordenados ( e l e m e n t o   d e   A ,   e l e m e n t o   B ) seguindo a ordem dos elementos de A :

Primeiro para o 1 :

1 , a ,   1 , b , 1 , c , 1 , d

Para o 2 :

2 , a ,   2 , b , 2 , c , 2 , d

Para o 3 :

3 , a ,   3 , b , 3 , c , 3 , d

E assim sucessivamente:

A × B = { 1 , a ,   1 , b , 1 , c , 1 , d , 2 , a ,   2 , b , 2 , c , 2 , d , 3 , a ,   3 , b , 3 , c , 3 , d ,

4 , a ,   4 , b , 4 , c , 4 , d , 5 , a ,   5 , b , 5 , c , 5 , d }

Grande né? Hahaha paciência!

Passo 2

( b )

Agora vamos fazer o contrário:

B × A

Então formaremos pares ordenados do tipo ( e l e m e n t o   d e   B ,   e l e m e n t o   d e   A )

B × A = { a , 1 , a , 2 , a , 3 , a , 4 , a , 5 , b , 1 , b , 2 , b , 3 , b , 4 , b , 5 ,

c , 1 , c , 2 , c , 3 , c , 4 , c , 5 , d , 1 , d , 2 , d , 3 , d , 4 , d , 5 , }

Prontinho!

Resposta

a   A × B = { 1 , a ,   1 , b , 1 , c , 1 , d , 2 , a ,   2 , b , 2 , c , 2 , d , 3 , a ,   3 , b , 3 , c , 3 , d ,

4 , a ,   4 , b , 4 , c , 4 , d , 5 , a ,   5 , b , 5 , c , 5 , d }

( b )   B × A = { a , 1 , a , 2 , a , 3 , a , 4 , a , 5 , b , 1 , b , 2 , b , 3 , b , 4 , b , 5 ,

c , 1 , c , 2 , c , 3 , c , 4 , c , 5 , d , 1 , d , 2 , d , 3 , d , 4 , d , 5 , }

Exercício Resolvido #5

Sabendo que C = { 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36 } , diga se é verdadeiro ou falso:

a   4 ∈ C

b   10 ∉ C

c   { 4 ,   36 } ⊂ C

d   9 ⊂ C

e   { 9 ,   16 } ∈ C

f   25 ∈ C

g   { 9 ,   25 } ⊄ C

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Passo 1

( a )

Bora pra primeira questão!

4 ∈ C

Quando o enunciado diz isso, é a mesma coisa que falar que:

4 ∈ { 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36 }

Tudo bem, estamos vendo que o elemento 4 realmente está no conjunto. Só preste atenção que quando usamos o símbolo , estamos falando sobre um ELEMENTO pertencer a um conjunto! Nessa questão, tá tudo ok. Então VERDADEIRA.

Passo 2

( b )

Seguinte, agora ele diz o seguinte:

10 ∉ C

Isso quer dizer que:

10 ∉ 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36

Tudo bem, estamos vendo que o elemento 10 realmente não está no conjunto. Só preste atenção que quando usamos o símbolo , estamos falando sobre um ELEMENTO pertencer a um conjunto! Nessa questão, tá tudo ok. Então VERDADEIRA.

Passo 3

( c )

Dá uma olhada agora:

4 ,   36 ⊂ C

Traduzindo:

{ 4 ,   36 } ⊂ 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36

Aqui o que ele diz é que o { 4 ,   36 } é subconjunto de 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36 e isso é verdade! Tipo, o conjunto 4 ,   36 é um conjunto menorzinho que contém os mesmos elementos que estão em C , então ele é um subconjunto de C . Então VERDADEIRA.

Passo 4

( d )

Olha essa agora:

9 ⊂ C

Aqui ele está dizendo que o elemento 9 é um subconjunto de C . Isso tá estranho né? Sabe porquê? Porque quando usamos o símbolo , estamos falando de conjuntos! E nessa questão temos um elemento. Logo, ela é FALSA.

Passo 5

( e )

Próxima letra 😊

{ 9 ,   16 } ∈ C

Bom, lendo o que está escrito: o conjunto { 9 ,   16 } pertence ao (é um elemento do) conjunto C . Isso não é verdade. Precisamos ter em mente que quando usamos o símbolo , estamos falando de elemento e veja que o conjunto não é um elemento de C .

Olha um exemplo de um conjunto que é elemento de outro:

{ 1 ,   2 ,   3 ,   4 }

Nesse caso o conjunto { 3 ,   4 } seria um elemento deste conjunto maior.

Mas esse não é o nosso caso. Então FALSA.

Passo 6

( f )

Olhemos essa agora

25 ∈ C

Isso quer dizer que 25 é um elemento do conjunto { 4 ,   9 ,   16 ,   25 ,   36 } e isso é verdade!

Então VERDADEIRA.

Passo 7

( g )

Dá uma olhada nessa última:

{ 9 ,   25 } ⊄ C

Aqui isso está dizendo que { 9,25 } não é subconjunto de C e isso não é verdade. Tipo, o conjunto 9 ,   25 é um conjunto menorzinho que contém os mesmos elementos que estão em C , então ele é um subconjunto de C . Então FALSA.

Resposta

a   V

b   V

c   V

d   F

e   F

f   V

g   F

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