Operações com Conjuntos

Teoria Completa

FAAAAALA AÍ!!! Agora que tu já está começando a se entender com conjuntos, eu vim te mostrar que nós temos como relacionar os conjuntos entre si!

“Mas como é isso?”

Calma, meu anjo, vamos ver isso agora :D

União, Interseção e Diferença de Conjuntos

Bom, imagina que eu quero criar um conjunto que tenha os números que são múltiplos de 3 ou que sejam múltiplos de 5 . Isso pode ser expresso como uma UNIÃO entre dois conjuntos: um conjunto dos múltiplos de 3 e um conjunto dos múltiplos de 5 .

Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de OU, estamos falando de união. A notação é a seguinte:

A ∪ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A ∪ B .

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto união será:

A ∪ B = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7

Não se esqueça de colocar uma vez só cada termo, ainda que eles apareçam mais vezes!

Agora imagina que eu quero um conjunto que tenha os números que são múltiplos de 3 e 5 . O que temos dessa vez é uma INTERSEÇÃO entre dois conjuntos: um conjunto com os múltiplos de 3 e outro com os múltiplos de 5 .

Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de E, estamos falando de interseção. A notação é a seguinte:

A ∩ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A ∩ B . A grosso modo, interseção é o conjunto dos elementos em comum.

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto interseção será:

A ∩ B = { 4 }

MASSSSSS, pode acontecer de os conjuntos não terem termos em comum, a vida é assim mesmo hahaha

A = 1 ,   2 ,   3   e   B = 4 ,   5 ,   6

Nesse caso:

A ∩ B = ∅ = {   }

E dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

Agora eu quero criar outro conjunto: quero um conjunto que tenha todas as cores, mas que não tenha aquelas que começam com a letra “a”.

Isso é o que chamamos de diferença de conjuntos: eu pego um conjunto que contenha todas as cores e subtraio um conjunto que tenha as cores que começam com a letra “a”.

Normalmente na construção de conjuntos, quando temos RESTRIÇÃO, temos uma diferença de conjuntos. A notação é:

A - B   o u   A \ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A - B .

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto restrição será:

A - B = A \ B = 1 ,   2 ,   3

Eu pego tudo que tem em A e tiro aquilo que está em B também.

Complementar e número de elementos de um conjunto

Bom, para começar, quero criar um conjunto que tenha todos os números menos os números pares. A gente acabou de ver que isso é uma diferença de conjuntos, né?

Eu não menti, isso é verdade, mas também é verdade dizer que se trata de complementar de um conjunto.

“Ahn??? Mas o que é isso?”

Complementar de um conjunto é tudo o que NÃO é o próprio conjunto. No meu caso, eu estaria pegando o complementar do conjunto dos números pares!

Quando falamos de diferença de conjuntos, também estamos falando de complementar!

A notação é a seguinte:

A C = t u d o   a q u i l o   q u e   n ã o   é   o   A

No diagrama de Venn

Lembrando que isso é para quando estamos considerando apenas o conjunto A e um conjunto universo U .

Mas se estivéssemos falando apenas de A e B , teríamos o seguinte no diagrama de Venn:

E isso em termos de complementar seria:

A - B = C A B = B C

Lê-se complementar de B em relação a A ou apenas complementar de B .

Vamos só dar uma passadinha rápida em número de elementos de um conjunto ou também conhecida e temida por cardinalidade de um conjunto. Bom, isso é apenas um número que pegamos para quantificar os elementos de um conjunto!

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4

n A = c a r d A = 4

Perceba que temos algumas notações, como está aqui em cima, essas são as mais comuns!

Vou te dar uns truques que aparecem às vezes em algumas questões:

n A ∪ B = n A + n B - n ( A ∩ B )

Vou te explicar só essa fórmulinha e o resto você segue o mesmo raciocínio, ok?

Vamos pensar assim: pra eu saber o número de elementos da união de dois conjuntos, olhando pro diagrama de Venn, temos a seguinte situação:

Então, eu posso somar a quantidade de elementos em A e somar a quantidade de elementos em B . Só que perceba que a gente conta a parte do meio (a interseção) duas vezes, então subtraímos isso para ficar certinha a quantidade.

Outra fórmula:

n A ∪ B ∪ C = n A + n B + n C - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n ( A ∩ B ∩ C )

Propriedades de união e interseção

Dados três conjuntos A ,   B   e   C , as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade comutativa:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Propriedade associativa:

A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C

A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C

Propriedade distributiva:

A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C

A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C

Se A está contido em B   ( A ⊂ B ) :

A ∪ B = B     ⇔   A ∩ B = A

A ∪ C ⊂ B ∪ C

A ∩ C ⊂ B ∩ C

Leis de Morgan:

A ∪ B C = A C ∩ B C

A ∩ B C = A C ∪ B C

Expandir

Exercício Resolvido #1

Sejam dados os conjuntos X = { 0 } , Y = { 0 ,   1 } e Z = { 0 ,   1 } . Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a) X ∈ Z

b) X ⊂ Z

c) X ∩ Z ≠ ∅

d) X ∩ Y ≠ ∅

e) Y ⊂ Z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, vamos começar pelo item a). Então, dá uma olhada na seguinte afirmação:

X ∈ Z

Beleza, mas quem é X ?

X é um conjunto que possui como único elemento o número 0.

Sendo assim, nós temos o elemento 0 no conjunto Z ?

A resposta é não, uma vez que o conjunto Z é formado por um subconjunto que possui como único elemento o número 0 e o número 1.

Logo, o item a) é falso.

Lembre-se: a nomenclatura “pertence” refere-se apenas a elementos.

Passo 2

Vamos agora para o item b):

X ⊂ Z

Essa é fácil, né?

Nós já sabemos que X é um conjunto que possui como único elemento o número 0 e que existe um subconjunto igualzinho a esse contido em Z .

Logo, a afirmação é verdadeira.

Lembre-se: a nomenclatura “está contido” refere-se apenas a conjuntos.

Passo 3

Show de bola! Vamos para o item c):

X ∩ Z ≠ ∅

Essa afirmação está dizendo que existem elementos comuns nos conjuntos X e Z , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

SUPER MENTIRA!

Uma vez que não existem elementos comuns nos conjuntos X e Z .

Não se confunde, hein!? X possui o elemento 0, já Z possui um subconjuntos que tem como único elemento o número 0.

Passo 4

E o item d), é verdadeiro?

X ∩ Y ≠ ∅

Bem, ele nos diz que existem elementos comuns nos conjuntos X e Y , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

VERDADE VERDADEIRA!

Já que os dois conjuntos possuem o elemento 0, logo o resultado desse interseção é um conjunto com um único elemento, que é 0.

Passo 5

Por fim, temos a afirmação e):

Y ⊂ Z

O conjunto Y está contido em Z ?

Vish! Super falso...

O subconjunto que Z possui não é o conjunto Y , uma vez que os elementos são diferentes. Enquanto um possui apenas o elementos 0, o outro possui dois elementos que são: 0 e 1.

Resposta

Portanto, temos aqui o nosso gabarito lindo:

a) F

b) V

c) F

d) V

e) F

Exercício Resolvido #2

Sejam x e y números tais que os conjuntos { 0 ,   7 ,   1 } e { x ,   y ,   1 } são iguais. Então podemos afirmar que:

a   x = 0 ,   y = 5

b   x + y = 7

c   x = 0 ,   y = 1

d   x + 2 y = 7

e   x = y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Cara, para dois conjuntos serem iguais, é necessário que eles tenham exatamente OS MESMOS elementos. Olha o nosso conjunto “incógnita” (vou chamar assim esse bonito):

x , y , 1

O único elemento que ele tem em comum com o conjunto dado é o 1 .

Então, a gente precisa que exista um 0 e um 7 ali no x ou y . Mas como a gente sabe quem é 0 e quem é 7 ? Seria x = 0 e y = 7 ? Ou talvez o contrário? Nunca saberemos hahaha

Passo 2

Vamos olhar pro conjunto dado:

0 ,   7 ,   1

E o nosso:

x ,   y ,   1

Lembrando que a ordem num conjunto não altera em nada os elementos. O conjunto 1 ,   2 é igual ao conjunto { 2 ,   1 } .

Beleza, acendeu uma luz aqui! Eu não posso afirmar nada, mas sei que a soma de todos os termos tem que ser igual, então:

0 + 7 + 1 = x + y + 1

Isso nos diz que:

x + y = 7

E faz sentido né? Se você olhar pras opções, vai ver que elas não fazem sentido algum.

Passo 3

Começando pela letra ( a )   x = 0 ,   y = 5

Isso é falso, pois se y = 5 , os conjuntos não seriam iguais.

c   x = 0 ,   y = 1

Isso também é falso, pois se y = 1 , os conjuntos não seriam iguais.

d   x + 2 y = 7

Isso é falso, pois a relação correta foi a que encontramos.

e   x = y

Isso também é falso, pois suponha que x = y = 1 , os conjuntos não seriam iguais!

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercício Resolvido #3

No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região foi denominada com um número entre parênteses indicar as regiões que determinam:

a   A ∩ B

b   A ∪ B

c   A - B

d   A C

e   B C

f   A ∪ B C

g   A ∩ B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Amigx, se prepara porque você vai ver muito essa figura aqui no exercício hahaha BORA LÁ!

a

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∩ B

Ou seja, a área comum do diagrama entre A e B , look at this:

Concorda comigo que é área de número 1 ? É a parte que pertence tanto ao conjunto A