Série de MacLaurin

Resumo

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Se você esta aprendendo Cálculo e começou a estudar representações de funções a partir de séries infinitas, já pode aprender sobre a série de MacLaurin.

A série de MacLaurin é um caso específico da série de Taylor. A série de Taylor é uma maneira de representar funções a partir de uma soma de infinitas parcelas. Quanto maior for o número de parcelas mais próxima da realidade é a nossa representação em série. Por exemplo podemos representar a função $f(x)=\cos x$ como:

$$f(x)=\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+...$$

A fórmula geral da série de Taylor tem a forma:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(a)(x-a)^n}{n!}$$

Onde temos que $a$ representa o centro que queremos que esteja o "foco" da nossa representação. Então a nossa aproximação vai ser mais exata quando estivermos observando pontos que tenham a coordenada $x$ próxima a $a$ .

A série de MacLaurin é muito parecida, mas dizemos que ela é centrada em zero, ou seja, definimos para a série de MacLaurin que $a=0$ e a nova fórmula fica:

$$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(0)x^n}{n!}$$

Onde temos que calcular a derivada de ordem $n$ da função $f(x)$ em $x=0$ para descobrir como vai ser a cara de nossa série de MacLaurin.

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