Séries de Taylor

Teoria Completa

Recapitulando o que já foi aprendido...

Poxa, até agora, se eu te pedir para representar a função...

f x = 1 2 - x

Você poderia fazer a comparação com a princesinha das séries de potência: a série geométrica:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Afins de curiosidade, você poderia resolvê-la com esses dois passos apenas:

Passo 1: Reescrever a função f x para ficar mais parecida com a série geométrica...

f x = 1 2 + x =

1 2 ⋅ 1 1 + x 2 =

1 2 ⋅ 1 1 - - x 2

Passo 2: Agora, comparando essa expressão com a série geométrica.....

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n               →           1 1 - - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Mas, não podemos nos esquecer naquele termo 1 / 2 em evidência. Ou seja, a representação da função é...

f x = 1 2 ⋅ 1 1 - - x 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Introdução à Série de Taylor

Beleza, mas agora e se o problema que estiver enfrentando lhe pede para encontrar uma representação em série, do seno de x , por exemplo:

f x = sen ⁡ x

E aí? Perceba que não tem como você fazer comparação com a série geométrica, nem mesmo se você derivar ou integrar (afinal as derivadas ou a integral de seno, ainda gera cosseno). Nesse caso a saída é representação em série de Taylor!

Sempre que a gente tiver uma função infinitamente derivável (ou seja, nunca vai zerar) e definida em um intervalo da série, poderemos escrever essa função com essa cara aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! (   x - a   ) n

Onde, f n a é a derivada de ordem n da função f x no ponto a ; e o a é o ponto central da nossa série;

Vamos encontrar a representação da função f x = sen ⁡ x centrada em zero. Para isso faremos 4 passos:

  1. Achar as derivadas para encontrar um padrão
  2. Substituir o ponto x = 0
  3. Encontrar um padrão para as derivadas no ponto
  4. Com o padrão encontrado, você deve retornar à série

Passo 1: Primeiro se calcula as derivadas até encontrar padrão:

f x = sen ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sen ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

f 4 x = sen ⁡ x

Repara que na quarta derivada a gente retorna ao sen ⁡ x , indicando um padrão a partir daí. Então primeiro passo concluído: padrão encontrado.

Passo 2: Substituir o ponto x = 0 :

f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' ' 0 = - sen ⁡ 0 = 0

f ' ' ' 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

f 4 0 = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3: Encontrar um padrão para as derivadas:

Repara que para derivadas de ordem par, o resultado deu zero ( f ' ' 0 = 0   e   f 4 0 = 0 ). Já as derivadas de ordem ímpar, o resultado variou entre 1 e - 1 . Então vamos dividir nossa análise em duas para entender melhor esse padrão:

  • Análise 1: Todo mundo que tem n par vai ser zero. Então galerinha, podemos chamar o nosso expoente n   de 2 m (onde m é 0 ,   1 ,   2 ,   3 ...), pois assim sempre teremos um número par. No ponto 0 ficará:
  • f 2 m 0 = 0

  • Análise 2: Agora se temos um expoente impar, ele intercala entre + 1 e - 1 . Então para ter um n impar, eu posso dizer n = 2 m + 1 . Agora precisamos achar um padrão de quando ele será - 1 e quando será + 1 .

Quando n = 1 , teremos

1 = 2 m + 1 → m = 0

Quando   n = 3 , teremos

3 = 2 m + 1 → m = 1

Lembra que o que altera é apenas o sinal do resultado ( + 1 e - 1 ) e aqui nós temos m variando entre par e impar. Então eu encontrei um padrão: quando m for par o resultado da derivada é positivo e quando m for impar o resultado da derivada é negativo, assim:

f 2 m + 1 = - 1 m          

Passo 4: Com o padrão encontrado, você deve retornar à série:

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Nesse exemplo, f n , foi dividido em duas partes: par n = 2 m e ímpar ( n = 2 m + 1 ) . O mesmo deve ser feito com a série:

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ f 2 m 0 2 m ! x 2 m + ∑ m = 0 ∞ f 2 m + 1 0 2 m + 1 ! x 2 m + 1     →

Substituindo o passo 3 :

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ 0 2 m ! x 2 m + ∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 ! x 2 m + 1     →

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 ! x 2 m + 1

Pronto! Achamos nossa série de Taylor para função sen ⁡ x .

Agora vamos ver aprofundar mais!

Desenvolvendo a Série de Taylor ou MacLaurin

Então, galerinha, agora a gente vai provar a série de Taylor e a de MacLaurin! Pois, no fundo o problema é o mesmo, ou seja, queremos encontrar uma representação em séries de potências da função seno (em torno do 0 por enquanto):

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ c n x n =

c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + …

Portanto temos que saber quem são esses coeficientes aí, certo?

Veja que fazendo x = 0 , todos os termos, exceto o c 0 serão nulos...

f 0 = sen ⁡ 0 = c 0

Beleza! Então encontramos o primeiro coeficiente. Mas e o segundo? Temos que arrumar uma forma de eliminar o x dele. Como podemos fazer isso? Derivando!

f ' x = cos ⁡ x = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + … = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

Fazendo o x = 0 agora...

f ' 0 = cos ⁡ 0 = c 1

AH! Tem certa lógica então, percebe? Vamos o c 2 , juntos... Primeiro derivando novamente:

f ' ' x   = - sen ⁡ x = 2 c 2 + 2 ⋅ 3 c 3 x + … = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n c n x n - 2

Substituindo o x = 0 , agora...

f ' ' 0   = - sen ⁡ 0 = 2 c 2         →      

c 2 = f ' ' 0 2 = - sen ⁡ 0 2

Se você fizer o c 3 , você vai concluir que ele é assim

f ' ' ' x   = - c o s x = 2 ⋅ 3 c 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 c 4 x   + … = ∑ n = 2 ∞ n - 2 n - 1 n c n x n - 3

Substituindo o x = 0 , agora...

f ' ' ' 0   = - c o s 0 = 2 ⋅ 3 c 3

c 3 = f ' ' ' 0 3 ⋅ 2  

Repara que temos um padrão! Para achar o c n é só dividir a derivada de ordem n por n ! . Não percebeu, vamos achar o c 4

f 4 x   = s e n x = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 c 4   + … = ∑ n = 2 ∞ ( n - 3 ) n - 2 n - 1 n c n x n - 3

Novamente, substituindo o x = 0 ,

f 4 0   = s e n 0 = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 c 4

Ou seja,

c 4 = f 4 0 4 ⋅ 3 ⋅ 2           o u           c 4 = f 4 0 4 !

No geral, você pode dizer quem é c n , basta você fazer isso aqui:

c n = f n 0 n !

Então a série do sen ⁡ x pode ser representada por:

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ c n x n =

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

E não só a série do seno, mas como também de qualquer outra função que seja derivável no x = 0 tantas vezes quanto se queira. Por exemplo, a função cos ⁡ x , a e x e por aí vai !

Essa série de Taylor recebe um nome especial: Série de MacLaurin (tudo porque ela é ao entorno de x = 0 ). Se você quiser representar uma função entorno de outro ponto, o ponto a , por exemplo, você faria assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x - a n

A diferença é que o c n deve ser calculado com as derivadas no ponto a , e não em zero:

c n = f n a n !

Beleza, então agora você sabe quem é a série de Taylor! Que tal passarmos para uma importante aplicação das séries de Taylor agora?

Aplicação: Derivadas Superiores

Uma das aplicações mais iradas da Série de Taylor é o cálculo de derivadas superiores sem precisar derivar!

A gente acabou de ver que os coeficientes da série de Taylor são dados por:

f n a n ! = c n

Ou seja,

f n a = n ! c n

Assim, se quisermos calcular f n ( a ) , podemos usar a expansão da função em série de Taylor e comparar os termos!

Por exemplo, se tivermos a seguinte série de Taylor:

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n 3 x - 2 n  

E precisarmos determinar, por exemplo, f 7 ( 2 ) . Em outras palavras, vamos determinar a derivada de ordem 7 da função f no ponto x = 2 . Sabemos da série de potências que:

c n = n + 1 2 n 3

A parte x - 2 n é referente ao entorno da função ser centrada em 2. Continuando, já sabemos quem é c n