Séries de Taylor

Teoria Completa

Até agora você já consegue representar em forma de série um monte de funções usando o a série geométrica como base de comparação. Mas infelizmente você não vai conseguir fazer isso com todas as funções existentes e é para resolver esse problema que hoje vamos ver a série de Taylor.

Recapitulando o que já foi aprendido...

Poxa, até agora, se eu te pedir para representar a função...

f x = 1 2 - x

Você consegue fazendo comparação com a princesinha das séries de potência: a série geométrica:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Afins de curiosidade, você poderia resolvê-la com esses dois passos apenas:

Passo 1: Reescrever a função f x para ficar mais parecida com a série geométrica...

f x = 1 2 + x =

1 2 ⋅ 1 1 + x 2 =

1 2 ⋅ 1 1 - - x 2

Passo 2: Agora, comparando essa expressão com a série geométrica.....

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n               →           1 1 - - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Mas, não podemos nos esquecer naquele termo 1 / 2 em evidência. Ou seja, a representação da função em é...

f x = 1 2 ⋅ 1 1 - - x 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Introdução à Série de Taylor

Beleza, mas agora e se o problema que estiveres enfrentando lhe pede para encontrar uma representação em série, do seno de x , por exemplo:

f x = sen ⁡ x

E aí? Perceba que não tem como de você fazer comparação com a série geométrica, nem mesmo se você derivar ou integrar (afinal as deriva ou a integral de seno, ainda gera cosseno). Nesse caso a saída é representação em série de Taylor!

Desenvolvendo a Série de Taylor ou MacLaurin

Poxa, no fundo o problema é o mesmo, ou seja, queremos encontrar uma representação em séries de potências da função seno (em torno do 0 por enquanto):

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ c n x n =

c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + …

Portanto temos que saber quem são esses coeficientes aí, certo?

Veja que fazendo x = 0 , todos os termos, exceto o c 0 serão nulos...

f 0 = sen ⁡ 0 = c 0

Beleza! Então encontramos o primeiro coeficiente. Mas e o segundo? Temos que arrumar uma forma de eliminar o x dele. Como podemos fazer isso? Derivando!

f ' x = cos ⁡ x = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + … = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

Fazendo o x = 0 agora...

f ' 0 = cos ⁡ 0 = c 1

AH! Tem certa lógica então, percebe? Vamos o c 2 , juntos... Primeiro derivando novamente:

f ' ' x   = - sen ⁡ x = 2 c 2 + 3 ⋅ 2 c 3 x + … = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n c n x n - 2

Substituindo o x = 0 , agora...

f ' ' 0   = - sen ⁡ 0 = 2 c 2         →      

c 2 = f ' ' 0 2 = - sen ⁡ 0 2

Se você fizer o c 3 , você vai concluir que ele é assim:

c 3 = f ' ' ' 0 3 ⋅ 2  

Não se preocupe com o exemplo de encontrar a representação do seno, vamos terminá-lo em instantes . O importante é você saber como se calcula. A propósito, o c 4 será...

c 4 = f 4 0 4 ⋅ 3 ⋅ 2           o u           c 4 = f 4 0 4 !

No geral, você pode dizer quem é c n , basta você fazer isso aqui:

c n = f n 0 n !

Então a série do sen ⁡ x pode ser representada por:

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ c n x n =

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

E não só a série do seno, mas como também de qualquer outra função que seja derivável no x = 0 tantas vezes quanto se queira. Por exemplo, a função cos ⁡ x , a e x e por aí vai !

Essa série de Taylor recebe um nome especial: Série de MacLaurin (tudo porque ela é ao entorno de x = 0 ). Se você quiser representar uma função entorno de outro ponto, o ponto a , por exemplo, você faria assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x - a n

A diferença e que o c n deve ser calculado com as derivadas no ponto a , e não em zero:

c n = f n a n !

Beleza, então agora você sabe quem é a série de Taylor! Que tal passarmos para uma importante aplicação das séries de Taylor agora?

Aplicação: Derivadas Superiores

Uma das aplicações mais iradas da Série de Taylor é o cálculo de derivadas superiores sem precisar derivar!

A gente acabou de ver que os coeficientes da série de Taylor são dados por:

f n a n ! = c n

Ou seja,

f n a = n ! c n

Assim, se quisermos calcular f n ( a ) , podemos usar a expansão da função em série de Taylor e comparar os termos!

Por exemplo, se tivermos a seguinte série de Taylor:

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n 3 x - 2 n  

E precisarmos determinar f 7 ( 2 ) , isto é, a derivada de ordem 7 da função f em x = 2 . Sabemos da série de potências que:

c n = n + 1 2 n 3

Ainda, da expansão em série de Taylor centrada em 2 ...

f x =   ∑ n = 0 ∞ f n ( 2 ) n ! x - 2 n

Logo,

f n ( 2 ) n ! = c n = n + 1 2 n 3

f n ( 2 ) = n ! n + 1 2 n 3

Como queremos a sétima derivada de f , é só fazer n = 7 na fórmula acima e ficamos com:

f 7 2 = 7 ! 7 + 1 2 7 3

f 7 2 = 5040 ⋅ 64 343 = 322560 343

Pronto, agora temos a derivada f 7 2 sem precisar derivar a função sete vezes!

Podemos dizer até aqui que você já tem todo o conhecimento de séries de Taylor na manga. Mas como resolver problemas de encontrar série de Taylor não é muito fácil, eu vou te dar um passo a passo maravilhoso agora e de quebra vamos terminar juntos o problema que começamos: encontrar a série de Taylor da função seno! Bora?

O Passo a Passo...

Encontre a representação em série de MacLaurin (em torno de 0 ) da função f x = sen ⁡ x .

Passo 1: Primeiro se calcula as derivadas até encontrar padrão:

f x = sen ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sen ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

f 4 x = sen ⁡ x

Passo 2: Substituir o ponto x = 0 :

f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' ' 0 = - sen ⁡ 0 = 0

f ' ' ' 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

f 4 0 = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3: Encontrar um padrão para as derivadas:

  • Todo mundo que tem n par, ou seja n   é igual a 2 m (onde m é 0 ,   1 ,   2 ,   3 ...), é 0 :
  • f 2 m 0 = 0

  • Todo mundo que tem n ímpar n = 2 m + 1 é 1 ou - 1 . Toda vez que isso acontecer, anota aí, ou será - 1 m , ou - 1 m + 1 , pois esses “caras” são quem varia entre - 1 e 1 :

f 2 m + 1 = - 1 m           o u         f 2 m + 1 = - 1 m + 1

Para verificar qual dos dois é o verdadeiro, você precisa verificar qual é o sinal que começa a brincadeira de variar entre 1 e - 1 . Se você olhar ali no passo 2 , vai perceber que nesse exemplo, f ' 0 = 1 é quem começa, logo a verdadeira só pode ser:

f 2 m + 1 = - 1 m     →         j á   q u e   m = 0     →       f 1 = - 1 0 = 1

Passo 4:

Com o padrão encontrado, você deve retornar à série de MacLaurin:

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Nesse exemplo, f n , foi dividido em duas partes: par n = 2 m e ímpar ( n = 2 m + 1 ) . O mesmo deve ser feito com a série:

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ f 2 m 0 2 m ! x 2 m + ∑ m = 0 ∞ f 2 m + 1 0 2 m + 1 ! x 2 m + 1     →

Substituindo o passo 3 :

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ 0 2 m ! x 2 m + ∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 ! x 2 m + 1     →

f x = sen ⁡ x = ∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 ! x 2 m + 1  

É! Eu sei! São passos não muito complicados, mas cheio de detalhes. Mas pode acreditar em mim, com a prática se torna cada vez mais prático. Então partiu exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 4

Ache a expansão em série de potências f x = e x + e - x 2 em torno de x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que representamos a série de Taylor da função g x = e x como:

g x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

E analogamente, a série de Taylor pra h x = e - x será:

h x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

Passo 2

Pelo fato de as séries não convergirem individualmente, ou seja, seus raios de convergência valem infinito, podemos escrever a função f x da seguinte maneira, em termos de g x e h x :

f x = g x + h x 2