Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

Teoria Completa

Introdução

O método de resolução através do cálculo funcional para sistemas não homogêneos é bem parecido com o que a gente fez no método da eliminação. A ideia é seguir o seguinte passo a passo.

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: X h t
  2. Encontrar a solução particular: X p t  
  3. Encontrar solução geral: X t = X h t + X p t

Para achar a solução da homogênea é só usar o método que nós já vimos na outra teoria

A parte importante aqui é como achar a solução particular. Vamos rever aqui o que já falamos na teoria de método de eliminação não homogêneo

Vamos usar aqui o método dos coeficientes indeterminados. É importante se ligar em uma parada, para usar esse método a matriz g t deve ter funções que sejam uma dessas três

  • Função exponencial: e n x
  • Função polinomial: x n
  • Função trigonométrica: cos ⁡ n x , sen ⁡ n x

Mas como fazemos essa solução particular? Primeiro vamos chutar uma solução particular, é isso mesmo chutar.

O passo a passo para isso vai ser

  1. Identificar g t :
  2. Supor X p t com coeficientes a determinar
  3. Verificar se X p t é solução da equação homogênea
  4. Calcular derivadas de X p t : X p ' t
  5. Substituir X p t e suas derivadas na equação
  6. Encontrar coeficientes
  7. Substituir coeficientes em X p ( t )

Para supor X p t com coeficientes a determinar, vai depender do tipo de funções temos em g t , ou seja, se é exponencial, polinomial ou trigonométrica.

Vamos ver alguns exemplos

Solução particular – exponencial

Quando a matriz g t tiver uma exponencial ou soma de exponenciais, supomos que X p t é também uma exponencial de mesmo expoente:

Exemplo

  • g t = e 2 t 3 e 2 t
  • A primeira coisa é arrumar essa g t

    g t = 1 3 e 2 t

    ⇒ X P = a e 2 t

    Esse a é um vetor que queremos encontrar sacou? Esse é o coeficiente a determinar.

    Vamos ver outro exemplo

  • g t = e 3 t 3 e t
  • g t = 1 0 e 3 t + 0 3 e t

    Entendeu a ideia de arrumar? Temos que separar os exponenciais diferentes e escrever isso vezes uma constante.

    ⇒ X P = a e 3 t + b e t

    Aqui temos que achar o vetor a e o vetor b .

    É comum nomear as coordenadas desses vetores, fazendo algo assim

    a = A B

    E

    b = C D

    Ai fazemos as contas para achar essas novas constantes. Isso ajuda nas contas só isso, trabalhar direto com vetor dá um trabalho enorme.

    Solução particular – polinomial

    Quando a matriz g t tiver um polinômio, supomos que X p t é também um polinômio, só que o grau desse polinômio vai ser o maior que tem em g t vamos ver uns exemplos

    Exemplo

  • g t = t t + 2
  • Aqui os dois são de grau 1 então a solução particular vai ser

    ⇒ X P = a t + b

    Onde a e b são vetores.

    Quando temos polinômios não precisamos arrumar como fizemos antes.

    Repara que colocamos o polinômio completo, fica atento para não esquecer algum termo ali hein.

  • g t = t 2 + 1 t 3 + t
  • Aqui temos um polinômio de grau 3 e outro de grau 2 , a solução particular vai ter a cara do maior grau, ou seja, um de grau 3 . Vai ficar assim

    ⇒ X P = a t 3 + b t 2 + c t + d

    Onde a , b , c e d são vetores.

    Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.

    Solução particular – trigonométrica

    Quando a matriz g t tiver uma função trigonométrica (soma de senos e cossenos), supomos que X p t é também uma soma de seno e cosseno de mesmo argumento, lembrando que argumento é o carinha dentro do seno ou cosseno:

    Exemplo

  • g t = sen ⁡ 2 t 3 cos ⁡ 2 t
  • ⇒ X P = a sen ⁡ 2 t + b cos ⁡ 2 t

    Onde a e b são vetores.

    Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.

  • g t = sen ⁡ t cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t
  • ⇒ X P = a sen ⁡ t + b cos ⁡ t + c sen ⁡ 2 t + d cos ⁡ 2 t

    Onde a , b , c e d são vetores.

    Esse último parece mó doideira né? Fica atento que é assim mesmo que essa parada vai ser, vamos ter um par de soma de seno e cosseno para o cos ⁡ t e outro para para o cos ⁡ 2 t .

    Solução particular – combinação de diferentes tipos de funções

    Finalmente, vamos ver o último tópico desse assunto. Vamos ver como supor X p t quando g t possui uma soma ou multiplicação de diferentes tipos de funções.

    A solução particular X p t será também uma soma ou multiplicação dessas funções:

  • g t = sen ⁡ t + e t cos ⁡ t + t
  • ⇒ X P = a sen ⁡ t + b cos ⁡ t + c e t + d t + e

    Onde a , b , c , d e e são vetores.

    Aqui de novo vamos nomear as coordenadas dos vetores como fazemos antes, fica atento a esse detalhe para que a conta fique mais tranquilinha.

  • g t = t + e t 3 t e 2 t

Aqui como temos dois exponenciais diferentes vamos dar uma arrumada nessa parada

g t = t 0 + 1 0 e t + 0 3 t e 2 t

A nossa solução particular vai ficar

⇒ X P = a t + b + c e t + d t + e e 2 t

Onde a , b , c , d e e são vetores.

Importante: Depois de determinar a solução da equação homogênea e supor X p t , verificar se há termos da solução particular na solução da equação homogênea. Caso não haja, tudo bem! Caso haja, multiplique a parte de X p t por t e verifique novamente se ainda há termos da solução particular na solução da homogênea. Caso ainda haja, multiplique de novo por t até que não haja mais. Mas tem outro detalhe, aquele valor inicial não some, vamos ver um exemplo para entende esse detalhe importante

Exemplo:

Resolva o seguinte sistema

x ' = - 2 x + y + 2 e - t y ' = x - 2 y + 3 e - t

A primeira coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, para isso vamos identificar g t ,

g t = 2 e - t 3 e - t

O nosso sistema homogêneo vai ser

x ' = - 2 x + y y ' = x - 2 y

A resolução desse sistema não é a parte que estamos focando nesse capítulo, a solução desse sistema vai ser

x h t = C 1 e - t + C 2 e - 3 t

y h t = C 1 e - t - C 2 e - 3 t

Vamos agora para a solução particular, repara que a exponencial de g t é a mesma que aparece na solução homogênea, então a solução particular vai ser

X p = x p y p = a t e - t + b e - t

Vamos fazer

a = A B

b = C D

A solução particular vai ser

X p = x p y p = A B t e - t + C D e - t

Vamos derivar

X p ' = x p ' y p ' = A e - t - A t e - t - C e - t B e - t - B t e - t - D e - t

Substituindo no sistema vamos ter

A e - t - A t e - t - C e - t = - 2 A t e - t + C e - t + B t e - t + D e - t + 2 e - t B e - t - B t e - t - D e - t = A t e - t + C e - t - 2 B t e - t + D e - t + 3 e - t

A e - t - A t e - t - C e - t = - 2 A t e - t - 2 C e - t + B t e - t + D e - t + 2 e - t B e - t - B t e - t - D e - t = A t e - t + C e - t - 2 B t e - t - 2 D e - t + 3 e - t

Arrumando isso tudo vamos ter

A - C e - t - A t e - t = - 2 A + B t e - t + 2 - 2 C + D e - t B - D e - t - B t e - t = A - 2 B t e - t + 3 + C - 2 D e - t

Isso nos diz que

A - C = 2 - 2 C + D

- A = - 2 A + B

B - D = 3 + C - 2 D

- B = A - 2 B

Assim vamos ter

A = B

A = 2 - C + D

B = 3 + C - D

Somando essas duas equações vamos ter

A + B = 5

Como A = B

2 A = 5

A = 5 2

Além disso

D = A - 2 + C

D = 1 2 + C