Exercícios Resolvidos de Centrífugas

UFRJ, Lista 4, Prof. Medronho

Uma centrífuga tubular industrial ( L = 85   c m ,   R 1 = 45   c m ,   R 2 = 58   c m ) foi projetada tal que pudesse tratar 15   t / h de uma suspensão de amido em água ( 20 ℃ ) a 40 %   ( p / p ) . Especifique a rotação (velocidade angular) ótima de operação da centrífuga industrial, sabendo-se que a mesma suspensão foi testada, em laboratório, em uma centrifuga tubular ( L = 17   c m ,   R 1 = 2,1   c m   ,   R 2 = 2,2   c m ) , tendo-se obtido um clarificado de boa qualidade a 10000   r p m , para uma vazão de alimentação igual a 0,65   L / m i n . Sabe-se também que foi com base nestes dados que se projetou a centrífuga industrial.

Passo 1

Essa questão não tem nada de absurdo, mas temos que ter atenção. O enunciado pede pra calcular a rotação ( ω ) de uma centrífuga industrial e diz que foram feitos experimentos em laboratório; além disso, fala “Sabe-se também que foi com base nestes dados que se projetou a centrífuga industrial”; ou seja, temos uma clássica questão de mudança de escala.

E eu disse que temos que ter atenção com essa questão porque:

  • Temos que trabalhar com vazões volumétricas, mas o enunciado deu a vazão mássica da centrífuga industrial, 15   t / h ; vamos ter que converter
  • Todas as unidades têm que ser consistentes; vou escolher trabalhar no CGS então vou converter tudo que precisar para esse sistema
  • As rotações que usamos nas fórmulas devem estar em r a d / s

Se atentando a esses pontos, é só usar:

Q = 2 * v t g 50 * Σ

Lembrando que para centrífugas tubulares:

Σ t u b u l a r = ω 2 π R 2 2 - R 1 2 * L g ln ⁡ 2 1 + R 1 R 2 2

E usar v t g 50 para amarrar as performances das centrífugas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que vou fazer logo é converter a vazão mássica ( m ˙ = 15   t / h ) da centrífuga industrial para vazão volumétrica. Sabemos que se trata de uma suspensão aquosa de amido a 40 % peso por peso. Daí, tem 40 % de amido e o resto é água.

m ˙ = 15 t h = 0,4 * 15 t h d e   a m i d o + 0,6 * 15 t h d e   á g u a

m ˙ = 6 t h d e   a m i d o + 9 t h d e   á g u a

m ˙ = 6 * 10 6 g h d e   a m i d o + 9 * 10 6 g h d e   á g u a

Precisamos, agora, usar a densidade do amido e a densidade da água. Para o amido, ρ S = 1,5   g / c m 3 (sim, você teria que procurar haha), e para a água à 20 ℃ , ρ ≈ 1   g / c m 3 . Sabemos que densidade é:

d e n s i d a d e = m a s s a v o l u m e

Daí:

v o l u m e = m a s s a d e n s i d a d e

Q i n d = 6 * 10 6 g h 1,5   g / c m 3 d e   a m i d o + 9 * 10 6 g h 1   g / c m 3 d e   á g u a

Q i n d = 13 * 10 6   c m 3 / h

E, como escolhi trabalhar com CGS, tenho que converter essa vazão aí:

Q i n d = 13 * 10 6 c m 3 h * 1   h 3600   s = 3611,1 c m 3 s  

Bora passar a Q l a b logo pro CGS também:

Q l a b = 0,65 L m i n * 1   m i n 60   s * 10 3   c m 3 1   L = 10,83 c m 3 s  

E, aproveitando que estamos convertendo várias coisas, bora passar logo a rotação da centrífuga do laboratório para r a d / s :

ω r a d / s = π * ω r p m 30

Daí:

ω l a b = 1047,2   r a d / s

Passo 3

Para a escala de laboratório, podemos escrever:

Q l a b = 2 * v t g 50 * Σ l a b

Já para a industrial:

Q i n d = 2 * v t g 50 * Σ i n d

Fazemos a mudança de escala amarrando o diâmetro de corte, que dá no mesmo que amarrar a v t g 50 . Isolando-a em cada uma das equações:

Q l a b 2 * Σ l a b = v t g 50

  Q i n d 2 * Σ i n d = v t g 50

Como v t g 50 é a mesma, podemos igualar essas duas equações (e aí dá pra cortar esse 2 também haha ):

Q l a b Σ l a b = Q i n d Σ i n d

Queremos calcular ω i n d ; essa variável aparece em Σ i n d então bora, primeiro, calculá-lo; podemos isolá-lo:

Σ i n d = Q i n d * Σ l a b Q l a b

Nós temos Q i n d e Q l a b , mas ainda não calculamos Σ l a b , então bora lá. Como a centrífuga é tubular:

Σ t u b u l a r = ω 2 π R 2 2 - R 1 2 * L g ln ⁡ 2 1 + R 1 R 2 2

Para Σ l a b :

Σ t u b u l a r = 1047,2 2 * π * 2,2 2 - 2,1 2 * 17 981 * ln ⁡ 2 1 + 2,1 2,2 2 = 564982,45

Daí:

Σ i n d = 3611,1 * 564982,45 10,83 = 1,88 * 10 8   c m 2

Para determinar ω i n d , é só usar a fórmula de Σ :

Σ t u b u l a r = ω 2 π R 2 2 - R 1 2 * L g ln ⁡ 2 1 + R 1 R 2 2

Substituindo os valores para a industrial e usando o nosso cálculo ( Σ i n d = 1,88 * 10 8   c m 2   ) :

( ω i n d ) 2 * π * 58 2 - 45 2 * 85 981 * ln ⁡ 2 1 + 45 58 2 = 1,88 * 10 8

ω i n d = 338,3   r a d / s

Já achamos o resultado, mas para treinar, bora calcular o resultado em r p m também.

ω r a d / s = π * ω r p m 30

Daí:  

ω i n d = 3230,5   r p m

Resposta

ω i n d = 338,3   r a d / s = 3230,5   r p m

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