Exercícios Resolvidos de Centrífugas

UFRJ, Lista 4, Prof. Medronho

Uma centrífuga tubular de laboratório ( R 1 = 1,1   c m ,   R 2 = 2,2   c m ,   L = 20   c m   e   Ω = 15000   r p m ) foi empregada em um teste de separação da argila ( ρ S = 2,64   g / c m 3 ) contida em uma suspensão aquosa, obtendo-se um clarificado satisfatório na vazão de 10   c m 3 / s . Determinar a produção e o diâmetro de corte d 50 da centrífuga industrial R 1 = 5,21   c m ,   R 2 = 8,16   c m ,     L = 80   c m )   ao operar com a mesma suspensão a 10000   r p m .

Propriedades do fluido: ρ = 1,0   g / c m 3   e μ = 1,0   c P .

Passo 1

Essa questão fala de centrífugas tubulares e pede pra gente calcular vazão e d 50 para uma centrifuga industrial a partir dos dados de uma centrífuga de laboratório; ou seja, temos uma questão de mudança de escala de centrífugas. Vamos ter que trabalhar com a expressão para mudança de escala:

Q = 2 * v t g 50 * Σ

Usando essa expressão, conseguimos obter Q e v t g 50 . O problema pede Q e d 50 ; a vazão já vamos ter calculados, mas para achar d 50 , vamos ter que usar as correlações de Coelho e Massarani partindo do v t g 50 .

Quando estiver falando de parâmetros da escala de laboratório, vou usar o subscrito “lab” e, ao falar da industrial, “ind”.

Ahhh! Muito importante, repara que ele deu as rotações das em r p m ; e, falando nisso,   Ω é a mesma coisa que ω , ok? Vamos ter que trabalhar com ela em r a d / s então já vou converter logo isso, usando aquela fórmula que te mostrei lá na teoria:

ω r a d / s = π * ω r p m 30

Daí:

ω l a b = 1570,8   r a d / s

ω i n d = 1047,2   r a d / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a escala de laboratório, podemos escrever:

Q l a b = 2 * v t g 50 * Σ l a b

Já para a industrial:

Q i n d = 2 * v t g 50 * Σ i n d

Fazemos a mudança de escala amarrando o diâmetro de corte, que dá no mesmo que amarrar a v t g 50 . Isolando-a em cada uma das equações:

Q l a b 2 * Σ l a b = v t g 50

  Q i n d 2 * Σ i n d = v t g 50

Como v t g 50 é a mesma, podemos igualar essas duas equações (e aí dá pra cortar esse 2 também haha ):

Q l a b Σ l a b = Q i n d Σ i n d

Queremos calcular Q i n d ; isolando-o nessa expressão:

Q i n d = Q l a b * Σ i n d Σ l a b

O enunciado nos deu Q l a b = 10   c m 3 / s . Embora não tenhamos os Σ pra cada uma das centrífugas, lá da teoria (e provavelmente do seu formulário na prova haha), sabemos que para centrifugas tubulares:

Σ t u b u l a r = ω 2 π R 2 2 - R 1 2 * L g ln ⁡ 2 1 + R 1 R 2 2

Então podemos calcular Σ i n d e Σ l a b . Adotando o CGS (minha escolha) e lembrando de usar ω em r a d / s :

Σ l a b = 1570,8 2 π 2,2 2 - 1,1 2 * 20 981 * ln ⁡ 2 1 + 1,1 2,2 2 = 1220557,0 = 1,22 * 10 6   c m 2

Σ i n d = 1047,2 2 π 8,16 2 - 5,21 2 * 80 981 * ln ⁡ 2 1 + 5,21 8,16 2 = 31550322,0 = 3,15 * 10 7   c m 2

Daí, calculando Q i n d :

Q i n d = Q l a b * Σ i n d Σ l a b = 10 * 3,15 * 10 7 1,22 * 10 6 = 258,5   c m 3 / s

Passo 3

Pra calcular o v t g 50 é só pegar   Q = 2 * v t g 50 * Σ e substituir os valores ou pra escala de laboratório ou pra industrial. Euuuu vou pegar a escala de laboratório porque só fizemos um cálculo pra ela ( Σ l a b ) enquanto fizemos dois para a industrial   Q i n d   e   Σ i n d   então o resultado de v t g 50 vai estar menos suscetível a erros e aproximações. Mas, em teoria, é pra dar a mesma coisa, ok?

Q l a b = 2 * v t g 50 * Σ l a b

10 = 2 * v t g 50 * 1,22 * 10 6

v t g 50 = 4,1 * 10 - 6   c m / s

Como o enunciado pede o d 50 , temos que usar Coelho e Massarani. Já que temos a velocidade terminal, vamos por:

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Calculando:

C D R e p = 4 * 2,64 - 1 * 981 * 1,0 * 10 - 2 3 * 1 2 * ( 4,1 * 10 - 6 ) 3 = 3,12 * 10 17

Antes de calcular o R e p pela correlação, precisamos calcular k 1 e k 2 e, para isso, temos que saber a esfericidade das partículas. Como o enunciado não disse nada, vou assumir Φ = 1 . Daí:

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 ≈ 1

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 0,43

Usando a correlação:

R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

R e p = 8,61 * 10 - 9

Usando a definição de R e p :

R e p = ρ * v t * d μ

8,61 * 10 - 9 = 1 * 4,1 * 10 - 6 * d 50 1 * 10 - 2

d 50 = 2,1 * 10 - 5   c m = 0,21   μ m

Resposta

Q i n d = 258,5   c m 3 / s  

d 50 = 0,21   μ m

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