Enunciado

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A energia potencial resultante E entre dois íons adjacentes é, algumas vezes, representada pela expressão

E = - C r + D exp ⁡ - r ρ

Na qual r é a separação interiônica e C, D E ρ são constantes cujos valores dependem de cada material específico.

  1. Desenvolva uma expressão para a energia de ligação E 0 em termos da separação interiônica de equilíbrio r 0 e das constantes D e ρ , usando o seguinte procedimento:
  2. Derive E em relação a r e, então, iguale a expressão resultante a zero.

    Resolva essa expressão para C em termos de D, ρ e r 0 .

    Determine a expressão para E 0 pela substituição de C na equação dada.

  3. Desenvolva outra expressão para E 0 em termos de r 0 , C e ρ usando um procedimento análogo ao descrito na parte (a).

Passo 1

Bom, então vamos lá! O enunciado da letra (a) pede pra gente desenvolver uma expressão pra E 0 e dá pra gente o passo a passo. Bora fazer isso então, seguindo o número 1, devemos derivar a expressão em relação à r e igualar ela a zero: E = - C r + D exp ⁡ - r ρ

Derivando:

0 = C r ² - D e ( - r / ρ ) ρ

Passo 2

Agora o passo 2 seria a gente encontrar uma expressão pra C, em função de r 0 , ρ e D. Então o que a gente vai fazer é colocar C em evidência na equação que a gente encontrou. 0 = C r ² - D e ( - r / ρ ) ρ C = D e ( - r / ρ ) r ² ρ

Passo 3

Agora a gente só tem que substituir na equação inicial o que a gente achou pra C e trocar r por r 0 . E = - C r + D exp ⁡ - r ρ

E 0 = - D e ( - r 0 / ρ ) r 0 ρ + D exp ⁡ - r 0 ρ

Prontinho, encontramos nossa expressão pra E 0 em função de D, r 0 e ρ . Agora vamos pra letra b!

Passo 4

Na letra b ele o problema quer que a gente faça a mesma coisa da letra a, só que a expressão final deve ser escrita em função de C, r 0 e ρ . Então a diferença vai ser que, ao invés de acharmos uma expressão pra C, devemos achar uma expressão pra D. Já vamos começar da equação derivada pra encontrar então essa expressão de D.

0 = C r ² - D e ( - r / ρ ) ρ D = C ρ r ² e ( - r / ρ )

Passo 5

Agora é só substituir tudo na equação inicial!

E = - C r + D exp ⁡ - r ρ E 0 = - C r + C ρ r ²

Resposta

  1. E 0 = - D e ( - r 0 / ρ ) r 0 ρ + D exp ⁡ - r 0 ρ
  2. E 0 = - C r + C ρ r ²

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