Enunciado

Um monocristal de um metal com estrutura cristalina C F C está orientado tal que uma tensão de tração é aplicada paralela à direção [ 110 ] . Se a tensão cisalhante rebatida crítica para esse material é de 1.75   M P a , calcule a(s) magnitude(s) da(s) tensão(ões) aplicada(s) necessária(s) para causar escorregamento no plano 111 nas direções 1 1 - 0 , 10 1 -   e   01 1 - .

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos aplicar a seguinte equação

σ l = τ t c r c cos ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ λ         i

Mas para que possamos calcular essa equação vamos precisar encontrar quem é ϕ e λ para que, assim, possamos calcular os seus respectivos cossenos. Então, vamos precisar das seguintes fórmulas

λ = cos - 1 ⁡ u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ⋅ u 2 2 + v 2 2 + w 2 2       i i

ϕ = cos - 1 ⁡ u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ⋅ u 2 2 + v 2 2 + w 2 2         i i i

Onde u 1 , v 1   e   w 1 correspondem as coordenadas de uma direção e u 2 , v 2   e   w 2 de outra, para λ e para ϕ temos a relação entre a normal do plano e uma direção.

Passo 2

Primeiramente devemos reparar que para cada um dos três casos nós vamos ter um mesmo valor para ϕ . Tomemos, então, para λ os seguintes valores de u i , v i   e   w i

u 1 = 1 ,     v 1 = 0 ,     w 1 = 0 ;  

u 2 = 1 ,     v 2 = 0 ,     w 2 = 1 ;  

ϕ = cos - 1 ⁡ 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 + 0 + 0 ⋅ 1 + 1 + 1 = cos - 1 ⁡ 1 3 ≈ 54,7 °

Agora, vamos determinar o valor de λ para a direção 1 1 - 0 e a direção onde é aplicada a tensão 100 , então teremos

λ 100 - 1 1 - 0 = cos - 1 ⁡ 1 ⋅ 1 + - 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 + 0 + 0 ⋅ 1 + 1 + 0 = cos - 1 ⁡ 1 2 ≈ 45 °

Agora, vamos aplicar a equação i e obteremos

σ l = 1.75 M P a 1 3 ⋅ 1 2 ≈ 4.28 M P a

Dando prosseguimento, vamos avaliar agora para a direção 10 1 - e se repararmos bem como temos u 1 = 1 , v 1 = 0 , w 1 = 0 ao calcularmos λ vamos obter valor igual ao que encontramos acima e, consequentemente vamos ter um valor de σ l também igual e de valor 4.28 M P a .

Passo 3

Por fim, resta-nos calcular para a direção 01 1 - onde vamos ter

λ 100 - 1 1 - 0 = cos - 1 ⁡ 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( - 1 ) 1 + 0 + 0 ⋅ 1 + 1 + 0 = cos - 1 ⁡ 0 2 ≈ 90 °

Assim, vamos ter

σ l = 1.75 M P a 1 3 ⋅ 0 = ∞

Pronto, está resolvido nosso problema.

Resposta

111 - 1 1 - 0 :   σ l = 4.28 M P a

111 - 10 1 - :   σ l = 4.28 M P a  

111 - 01 1 - : σ l = ∞

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