Enunciado

a Verifique se a equação 16.11 , a expressão para a razão entre as cargas na fibra e na matriz F f / F m , é válida.

b Qual é a razão F f / F c em termos de E f , E m   e   V f ?

Passo 1

Para mostrar que o relacionamento na Equação 16.11 é válido, começaremos com a Equação 16.4 - ou seja

F c = F m + F f

Dividindo todos os membros por F m encontramos

F c F m = 1 + F f F m → F f F m = F c F m - 1     i

Para a deformação elástica vamos combinar as equações 6.1 e 6.5 de modo a obtermos

σ = F A = ε ⋅ E → F = A ε E     i i

Manipulando i i para F c   e   F m temos

F c = A c ⋅ ε ⋅ E c ,     F m = A m ⋅ ε ⋅ E m       i i i

Agora, combinando i i i   e i obtemos

F f F m = A c ⋅ ε ⋅ E c A m ⋅ ε ⋅ E m - 1

Devemos nos lembrar, agora, que V m = A m / A c , ou seja, A c / A m = 1 / V m que faz com que possamos escrever a equação acima da seguinte forma

F f F m = E c E m ⋅ V m - 1

Para finalizarmos basta lembrar da equação 16.10 a   do livro que

E c = E m V m + E f V f       i v

Substituindo na equação anterior e efetuando o mmc encontramos

F f F m = E m V m + E f V f - E m V m E m ⋅ V m → F f F m = E f V f E m ⋅ V m

Que é exatamente a equação que desejávamos demonstrar.

Passo 2

Para essa parte do problema queremos determinar F f / F c e faremos de maneira semelhante a anterior partindo da equação 16.4 , mas agora dividindo todo mundo por F c

1 = F f F c + F m F c → F f F c = 1 - F m F c

Utilizando a expressão i i para F m   e   F c e, também, fazendo a substituição necessária para V m = A m / A c , assim, vamos obter

F f F c = 1 - A m E m A c E c = 1 - V m E m E c

Finalmente, substituindo a equação i v obteremos

F f F c = 1 - V m E m E m V m + E f V f = E m V m + E f V f - V m E m E m V m + E f V f

F f F c = E f V f E m V m + E f V f = E f V f 1 - V f ⋅ E m + V f E f

Pronto, está representada a equação da forma como foi pedida.

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b F f F c = E f V f 1 - V f ⋅ E m + V f E f

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