Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2015.2, Questão 2a

Considere os subespaços de Equation (com Equation usual) abaixo:

Equation

Equation Encontre uma base para Equation .

Passo 1

O enunciado já dá pra gente uma base de Equation ! Repare também que ela possui Equation elementos. Logo Equation tem dimensão Equation .

Sabemos que a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é direta, ou seja, Equation tem que ter dimensão Equation , para que a soma das dimensões de Equation ! Então basta acharmos dois vetores que sejam ortogonais aos da base de Equation :

Equation

De Equation temos que:

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Equation

Então, nosso vetor genérico de Equation é dado por:

Equation

Então uma base para Equation é:

Equation

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Resposta

Equation

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