Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

PUCRIO-P3-2014.1-2a

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

“Se R n é soma direta dos subespaços H e W , então W é o complemento ortogonal de H . Noutras palavras, se R n = H ⊕ W , então W = H ⊥ . (Lembre: R n = H ⊕ W se, e somente se, R n = H + W , H ∩ W = 0 .

Passo 1

Falso

Podemos justificar pegando um exemplo no R 3 . Pegue o plano x y :

H = x y = s p a n { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 }

E assim seu complemento ortogonal seria o próprio eixo z . Mas não necessariamente ele satisfaz o fato de ser soma direta com o plano x y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, podemos pegar um outro conjunto formado por:

W = s p a n 0,1 , 1

Sabemos que, para estes H e W , R n = H ⊕ W , mas H ⊥ ≠ W .

OBS: Outros exemplos também são possíveis.

Resposta

Falso.

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