Complemento Ortogonal e Soma Direta

Teoria Completa

Bom, talvez você já tenha percebido isso, mas vamos formalizar agora haha:

Se você tem um plano (dimensão 2 ) contido no R 3 , seu complemento ortogonal será uma reta que, como já sabemos, possui dimensão 1 . Se tivermos uma reta no R 2 , seu complemento ortogonal será outra reta, também de dimensão 1 . E agora se eu te pedir o complemento ortogonal de uma reta no R 7 ?

Já não temos mais como visualizar isso. Então vamos aprender uma regrinha, uhul! É a seguinte: a soma da dimensão de um subespaço com a dimensão de seu complemento ortogonal dará sempre a dimensão do espaço em que eles estão contidos.

Sabendo disso, podemos ir muito além de exemplos no R 3 e no R 2 que podemos visualizar! Então o complemento ortogonal de uma reta (dimensão 1) no R 7 vai ser 7 - 1 = 6 .

Daí que vem o nome “complemento”. Ele de fato complementa as dimensões que faltavam para ocupar todo o espaço ;)

Então, sempre que nós pegarmos uma base de um conjunto V ⊂ R n e juntar com a base do complemento ortogonal V ⊥ , teremos uma base do R n !!!

Sacou? Vamos dar uma olhada em como falar isso de uma maneira mais formal, pode ser que venha a ser útil numa prova:

Repare que como você sempre junta vetores L I , a interseção deles é zero! Assim podemos afirmar que como V ∩ V ⊥ = 0 ,   R n = V ⊕ V ⊥ . Ou seja, R n é soma direta de V e V ⊥

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P4-2015.2.1

Seja H o conjunto dos vetores do R 4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então H ⊥ , o complemento ortogonal de H , é:

a   Um plano

b   Um hiperplano

c   O R 4

d   Uma reta

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Passo 1

Vamos lá!

Sabemos que H é formado por:

x + y = 0 ⇒ x = - y

x , y , z , w = - y , y , z , w = y - 1,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0 + w ( 0,0 , 0,1 )

Sendo assim podemos ver que temos 3 vetores L I e, portanto, a dimensão é 3 . Logo como sabemos que:

dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ = dim ⁡ R 4

Podemos ver que a dimensão do complemento deve ser uma reta, pois deve ter dimensão 1 :

3 + dim ⁡ H ⊥ = 4 ⇒ dim ⁡ H ⊥ = 1

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P3-2012.1

Seja V um espaço vetorial de dimensão 5 .

Seja H um subespaço gerado por 3 vetores não nulos de V .

Então a dimensão do complemento ortogonal de H pode ser no máximo igual a 4 .

a   A afirmativa é falsa.

b   A afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que a dimensão de H e a dimensão de seu complemento ortogonal H ⊥ somadas têm que dar 5 .

Logo afirmar que a dimensão de H ⊥ é no máximo igual a 4 dá no mesmo que afirmar que a dimensão de H é no mínimo igual a 1 .

E isso é verdade!

Se um vetor é não-nulo, então o espaço gerado por ele tem dimensão 1 .

Mas pode ser que eu escolha mais 2 vetores não nulos para H que sejam todos paralelos ( L D ).

Se isso acontecer, a dimensão do espaço será 1 , que é o valor mínimo. Nesse caso, H ⊥ terá dimensão 4 .

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2014.1-2a

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

“Se R n é soma direta dos subespaços H e W , então W é o complemento ortogonal de H . Noutras palavras, se R n = H ⊕ W , então W = H ⊥ . (Lembre: R n = H ⊕ W se, e somente se, R n = H + W , H ∩ W = 0 .

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Passo 1

Falso

Podemos justificar pegando um exemplo no R 3 . Pegue o plano x y :

H = x y = s p a n { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 }

E assim seu complemento ortogonal seria o próprio eixo z . Mas não necessariamente ele satisfaz o fato de ser soma direta com o plano x y .

Passo 2

Assim, podemos pegar um outro conjunto formado por:

W = s p a n 0,1 , 1

Sabemos que, para estes H e W , R n = H ⊕ W , mas H ⊥ ≠ W .

OBS: Outros exemplos também são possíveis.

Resposta

Falso.

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P4-2015.1-1 - b)

À questão “No espaço R 3 munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de H = s p a n { 1 , 1,1 } ”, Biazinha escreveu:

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como H é um espaço de dimensão 1 no R 3 , então seu complemento ortogonal deve ter dimensão 2 já que:

H ⊕ H ⊥ = R n

Assim, podemos ver que Biazinha achou um complemento ortogonal de dimensão 1 , e sem verificar as contas, já podemos ver que sua resposta está errada.

Resposta

Exercício Resolvido #5

PUCRIO-P4-2014.2

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de H e H ⊥ !)

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Passo 1

Ficou faltando na demonstração provar que H + H ⊥ = R n , mas... como provar??

Bom, já sabemos que H ⊂ R n e H ⊥ ⊂ R n , ou seja, H e H ⊥ possuem os mesmos elementos e operações de R n . Então, basta provar que as dimensões da soma dos dois subespaços são iguais ao do R n .

Pela fórmula das dimensões sabemos que:

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ - dim ⁡ ( H ∩ H ⊥ )

Passo 2

-

Mas como a interseção é zero...

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥

E como sabemos que:

d i m ( H ) = k

dim ⁡ H ⊥ = n - k

dim ⁡ H + H ⊥ = k + n - k = n = d i m ⁡ ( R n )

E assim, podemos dizer que H + H ⊥ = R n .

Resposta

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