Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Considere os subespaços de R 4 (com < , > usual) abaixo:

W ⊥ = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,1     e     U = 0 , - 1,0 , 1 , 1 , - 1,1 , 1

a Encontre uma base para W .

Passo 1

O enunciado já dá pra gente uma base de W ⊥ ! Repare também que ela possui 2 elementos. Logo W ⊥ tem dimensão 2 .

Sabemos que a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é direta, ou seja, W tem que ter dimensão 2 , para que a soma das dimensões de 4 ! Então basta acharmos dois vetores que sejam ortogonais aos da base de W ⊥ :

x , y , z , w , 1,0 , 0,1 = x + w = 0 x , y , z , w , 0,1 , 1,1 = y + z + w = 0       I I I

De I temos que:

w = - x

Substituindo em I I :

y + z - x = 0

z = x - y

Então, nosso vetor genérico de W é dado por:

x , y , x - y , - x = x 1,0 , 1 , - 1 + y 0,1 , - 1,0

Então uma base para W é:

β = 1,0 , 1 , - 1 , 0,1 , - 1,0

Resposta

β = 1,0 , 1 , - 1 , 0,1 , - 1,0