Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

Ver Teoria

Enunciado

À questão “No espaço R 3 munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de H = s p a n { 1 , 1,1 } ”, Biazinha escreveu:

a   Defina “complemento ortogonal de um subespaço vetorial V ⊂ R n

b   Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

c   Calcule corretamente H ⊥ .

d   Seja P H : R 3 ⟶ R 3 a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial H acima. Calcule P H ε ← ε ,onde ε é a base canônica de R 3 .

Passo 1

Letra ( a )

Passo 2

Letra ( b )

Como H é um espaço de dimensão 1 no R 3 , então seu complemento ortogonal deve ter dimensão 2 já que:

H ⊕ H ⊥ = R n

Assim, podemos ver que Biazinha achou um complemento ortogonal de dimensão 1 , e sem verificar as contas, já podemos ver que sua resposta está errada.

Passo 3

Letra ( c )

Lembre-se! Para calcular o complemento ortogonal basta fazer o produto interno dos vetores de H com um elemento genérico do domínio:

1,1 , 1 , x , y , z = 0 ⇒

x + y + z = 0 ⇒

x = - y - z

Assim os nossos vetores de H ⊥ tem “essa cara”:

- y - z , y , z = y - 1,1 , 0 + z ( - 1,0 , 1 )

Portanto podemos ver que:

H ⊥ = s p a n { - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1 }

Passo 4

Letra ( d )

O enunciado pediu a matriz escrita nos vetores da base canônica:

ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Ihh, mas esses vetores não pertencem a H e nem a H ⊥ . Por isso, será preciso acharmos a expressão da nossa P H , que nem fazemos com uma T L normal. Para isso usaremos a base de H e seu complemento ortogonal:

α = 1,1 , 1 , - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1

x , y , z = a 1,1 , 1 + b - 1,1 , 0 + c - 1,0 , 1

Aplicando P H dos dois lados e usando o fato de P H ser linear:

P H x , y , z = a P H 1,1 , 1 + b P H - 1,10 + c P H - 1,0 , 1 ⇒

P H x , y , z = a 1,1 , 1

Lembrando que como - 1 , 1,0 , - 1,0 , 1 ∈ H ⊥ , P H - 1,10 = P H - 1,0 , 1 = 0 .

Passo 5

Agora vamos achar a relação entre a , b , c e x , y , z :

x , y , z = a 1,1 , 1 + b - 1,1 , 0 + c - 1,0 , 1 ⇒

x , y , z = a - b - c , a + b , a + c ⇒

x = a - b - c ⇒ x = a - y + a - z + a ⇒ x + y + z = 3 a ⇒ a = x + y + z 3 y = a + b ⇒ b = y - a z = a + c ⇒ c = z - a

Como neste caso, só precisamos do valor de a , não vamos perder tempo calculando o resto.

P H x , y , z = x + y + z 3 1,1 , 1 ⇒

P H x , y , z = x + y + z 3 , x + y + z 3 , x + y + z 3

Passo 6

Agora, podemos calcular as imagens dos vetores da base canônica.

P H 1,0 , 0 = 1 3 , 1 3 , 1 3

P H 0,1 , 0 = 1 3 , 1 3 , 1 3

P H 0,0 , 1 = 1 3 , 1 3 , 1 3

E assim:

P H ε ← ε = 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

Resposta

c)   H ⊥ = s p a n - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1

d)   P H ε ← ε = 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3