Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Seja W o espaço gerado pelas linhas de 1 1 - 2 1 1 - 1 - 1 - 1 3 9 - 9 9 - 3 3 3 3 . Qual a dimensão do complemento ortogonal de W ?

( a ) 2

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 0

Passo 1

Primeiro precisamos saber qual a dimensão do espaço gerado pelas linhas da matriz. Vamos escalonar então:   1 1 - 2 1 1 - 1 - 1 - 1 3 9 - 9 9 - 3 3 3 3 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - 3 L 1 L 4 ← L 4 + 3 L 1   1 1 - 2 1 0 - 2 - 1 - 2 0 6 - 3 6 0 6 - 3 6 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 L 4 ← L 4 + 3 L 2 1 1 - 2 1 0 - 2 - 1 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0

Pronto. O espaço gerado pelas linhas da matriz tem dimensão 2 , e é um subespaço do R 4 . Logo, seu complemento ortogonal tem que ter dimensão 2 também, já que a soma de um subespaço com seu complemento é direta.

Resposta

Letra ( a )