Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

UFRJ-P3-2012.1

Seja Equation um espaço vetorial de dimensão Equation .

Seja Equation um subespaço gerado por Equation vetores não nulos de Equation .

Então a dimensão do complemento ortogonal de Equation pode ser no máximo igual a Equation .

Equation A afirmativa é falsa.

Equation A afirmativa é verdadeira.

Passo 1

Sabemos que a dimensão de Equation e a dimensão de seu complemento ortogonal Equation somadas têm que dar Equation .

Logo afirmar que a dimensão de Equation é no máximo igual a Equation dá no mesmo que afirmar que a dimensão de Equation é no mínimo igual a Equation .

E isso é verdade!

Se um vetor é não-nulo, então o espaço gerado por ele tem dimensão Equation .

Mas pode ser que eu escolha mais Equation vetores não nulos para Equation que sejam todos paralelos ( Equation ).

Se isso acontecer, a dimensão do espaço será Equation , que é o valor mínimo. Nesse caso, Equation terá dimensão Equation .

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Resposta

Letra Equation

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