Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão 5 .

Seja H um subespaço gerado por 3 vetores não nulos de V .

Então a dimensão do complemento ortogonal de H pode ser no máximo igual a 4 .

a   A afirmativa é falsa.

b   A afirmativa é verdadeira.

Passo 1

Sabemos que a dimensão de H e a dimensão de seu complemento ortogonal H ⊥ somadas têm que dar 5 .

Logo afirmar que a dimensão de H ⊥ é no máximo igual a 4 dá no mesmo que afirmar que a dimensão de H é no mínimo igual a 1 .

E isso é verdade!

Se um vetor é não-nulo, então o espaço gerado por ele tem dimensão 1 .

Mas pode ser que eu escolha mais 2 vetores não nulos para H que sejam todos paralelos ( L D ).

Se isso acontecer, a dimensão do espaço será 1 , que é o valor mínimo. Nesse caso, H ⊥ terá dimensão 4 .

Resposta

Letra b