Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Seja V = M 2 X 2 o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.

W 1 =   x y z t   ∈ V : y - z = 0 e W 2 =   1 0 2 - 1 ,   1 0 1 0 .

c) Calcule W 1 ┴ complemento ortogonal de W 1

Passo 1

Olhando para o enunciado, vemos que W 1 =   x y z t   ∈ V : y - z = 0 , podemos escrever esse subespaço de uma outra forma:

W 1 =   x y z t   ∈ V : x y z t ,   0 1 - 1 0 = 0

A gente só escreveu a mesma coisa de uma forma diferente, usando a ideia de produto interno.

Como igualamos esse produto interno a zero, temos que 0 1 - 1 0 ∈ W 1 ┴

Passo 2

Ainda podemos concluir algumas outras coisas importantes, sabemos que a dimensão da matriz   M 2 X 2 é 4, e a dimensão de W 1 (pelo item a) é 3.

Temos que M 2 X 2 = W 1 ⊕   W 1 ┴ . Isso significa que a d i m ⁡ (   W 1 ┴ ) = 1

Obs: ⊕ é o símbolo para soma direta.

Ou seja, a base que encontramos está correta.

Concluímos então que β   W 1 ┴ = 0 1 - 1 0

Resposta

c) β   W 1 ┴ = 0 1 - 1 0