Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Seja W o espaço gerado pelas linhas de 1 1 - 2 1 1 5 - 4 5 - 2 - 8 7 - 8 2 10 - 8 10 . Qual a dimensão do complemento ortogonal de W ?

a   1

b   3

c   2

d   0

Passo 1

Como a matriz é 4 × 4 , o espaço gerado pelas linhas da matriz fará parte do R 4 concorda? E sabemos também que a soma da dimensão de um subespaço e de seu complemento ortogonal tem que dar a dimensão do espaço em que eles estão contidos, no caso o R 4 !

Beleza, então vamos achar quem é o espaço gerado pelas linhas! Para isso é só escalonarmos a matriz:

1 1 - 2 1 1 5 - 4 5 - 2 - 8 7 - 8 2 10 - 8 10 → L 2 ← L 2 - L 1   L 3 ← L 3 + 2 L 1 L 4 ← L 4 - 2 L 1 1 1 - 2 1 0 4 - 2 4 0 - 6 3 - 6 0 8 - 4 8 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 1 1 - 2 1 0 4 - 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0

Opa, a dimensão do espaço gerado pelas linhas é 2 ! Logo o espaço ortogonal terá dimensão:

4 - 2 = 2

Resposta

Letra ( c )