Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Enunciado

Seja P 3 o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 , com um produto interno dado.

O complemento ortogonal do espaço gerado pelos vetores x - 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1 tem dimensão:

( a ) 0

( b ) 1

( c ) 2

( d ) 3

Passo 1

O espaço P 3 tem dimensão 4 , com base canônica ϵ = 1 ,   x ,   x 2 , x 3 .

O espaço gerado pelos vetores x - 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1 é o conjunto das combinações lineares. Reagrupando para escrever na base ϵ :

a x - 1 + b x + 1 + c x 2 - 1 =

= a x - a + b x + b + c x 2 - c =

= 0 x 3 + c   x 2 + a + b x + b - a - c 1

Para facilitar, vou passar da base dada para a base canônica do R 4 :

( 0 ,   c ,   a + b ,   b - a - c )

Você pode perceber que o espaço gerado pelos vetores x - 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1 tem dimensão 3 , já que é definido com três parâmetros.

Como estamos num espaço de dimensão 4 , seu complemento ortogonal terá dimensão 1 .

Resposta

Letra ( b )