Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

PUCRIO-P3-2014.1-2a

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

“Se Equation é soma direta dos subespaços Equation e Equation , então Equation é o complemento ortogonal de Equation . Noutras palavras, se Equation , então Equation . (Lembre: Equation se, e somente se, Equation , Equation

Passo 1

Falso

Podemos justificar pegando um exemplo no Equation . Pegue o plano Equation :

Equation

E assim seu complemento ortogonal seria o próprio eixo Equation . Mas não necessariamente ele satisfaz o fato de ser soma direta com o plano Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, podemos pegar um outro conjunto formado por:

Equation

Sabemos que, para estes Equation e Equation Equation , mas Equation .

OBS: Outros exemplos também são possíveis.

Resposta

Falso.

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