Exercícios Resolvidos de Conjunto de Nível

UFF, lista 12, Cálculo 2B, exercício 3, itens a e c.

Seja F : R 2 R definida por

z = F x , y = y - x 4

  1. Faça um esboço das curvas de nível de F associadas aos níveis z = 0 , z = 1 e z = 16 .
  2. Mostre que P = 0,0 pertence a curva de nível

F 0 = x , y R 2 ; F x , y = 0

De F associada ao nível z = 0 .

Passo 1

a )

Bom, pra fazer as curvas de nível dessa função, precisamos apenas igualar a função ao nível pedido. Assim, para o nível z = 0 , temos

z = y - x 4 = 0

y - x = 0 4 = 0

Logo, temos a reta

y = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer para o nível z = 1

z = y - x 4 = 1

y - x = 1 4 = ± 1

Temos então, duas retas:

y = x + 1

y = x - 1

Passo 3

Para o ultimo nível, z = 16 :

z = y - x 4 = 16

y - x = 16 4 = 2

E, over and over again, temos duas retas:

y = x + 2

y = x - 2

Passo 4

b )

Para mostrar que o ponto P = ( 0,0 ) pertence a curva de nível 0 dessa função é só substituir esse ponto na função e vê se dá zero

z = F x , y = y - x 4

z = F 0,0 = 0 - 0 4 = 0

Ou seja, o ponto pertence a curva de nível zero da função.

Repare que apenas olhando para a expressão que encontramos para o nível z = 0 na letra a

y = x

Já vemos que o ponto ( 0,0 ) pertence a essa curva.

Resposta

y = x

y = x + 1

y = x - 1

y = x + 2

y = x - 2

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