Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Olá! Olha só:
Devemos achar a equação da reta tangente a uma curva. Para termos a equação de uma reta, precisamos de um ponto e de sua inclinação.
O ponto já foi dado no enunciado. Já inclinação pode ser obtida derivando a função: ela é exatamente a derivada calculada no ponto.
A equação da reta com inclinação e que passa pelo ponto é:
Passo 2
Vamos começar derivando a função então!
Podemos reescrever a expressão da curva usando a regra de transformação da raiz em potência:
Vamos achar a inclinação com a derivada da função, usando nossa conhecida regra do Tombo:
Pra fazer aquela subtração com fração ali, vamos escrever o
Resolvendo aquela continha do expoente. Onde vamos subtrair em cima e repetir embaixo:
Assim:
Ainda podemos jogar esse expoente negativo pra baixo e voltar para a forma de raiz quadrada:
Passo 3
Como a gente quer o valor dessa derivada no ponto pra achar a inclinação, vamos substituir na derivada que encontramos e resolver:
Show! Achamos então a inclinação da reta, que é 😊
Passo 4
Montando a equação da reta tangente agora:
Temos e . Substituindo:
Agora é só dar aquela arrumadinha básica na resposta, por professor ficar feliz. Vamos tirar o zero que não faz diferença e fazer a multiplicação distributiva do em todo mundo que está dentro dos parênteses.
Prontinho! Essa é a equação da reta tangente no ponto pedido! 😊