Derivadas de Funções Básicas

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Derive a função y = 4 π ²

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Passo 1

Bom galera, precisamos derivar a função y . Mas tenha atenção! Essa função é a multiplicação entre dois números constantes 4 e π 2 . A multiplicação de duas constantes é uma constante! Logo, essa função y é uma constante.

y = 4 π 2 = c o n s t a n t e

Vocês se lembram como se deriva uma função constante?

Derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Como 4 π ² não varia, sua derivada d 4 π ² d x vale 0 .

d 4 π ² d x = 0

Ou seja a derivada de y d y d x vale:

d y d x = d 4 π ² d x = 0

Já estamos craques em derivada de constante, né?

Resposta

d y d x = 0

Exercício Resolvido #2

Derive a função f t = 1 4 t 4 + 8

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Passo 1

Fala, galera! Com é que vocês estão? Muita ralação? Então agora pode relaxar, porque aqui vai ser tudo explicado passo a passo com muita calma!

Essa função pode te assustar um pouco por causa da variável t . Estamos muito acostumados a fazer exercícios com x . Mas se a gente substituísse esse t por x , o susto passaria?

f x = 1 4 x 4 + 8

Quando a gente substituiu t por x , a gente apenas mudou o nome da variável. Isso não muda em nada o passo a passo que vamos seguir para derivar a função! Isso quer dizer que o nome da variável não importa! Podemos derivar a função com t , imaginando que estamos derivando uma função com x , beleza? Então vamos voltar para a função inicial do enunciado!

f t = 1 4 t 4 + 8

Essa questão parece ser difícil, porque a função f t é uma fração grande. No entanto, nós podemos reescrever essa função de uma forma que vai deixar ela mais simples. Vamos aplicar a multiplicação distributiva!

8 multiplicado por 1 4 vira a fração 8 4 .

1 4 ⋅ 8 = 8 4

Logo:

f t = 1 4 t 4 + 8 4         ⟹         f t = 1 4 t 4 + 2

Essa nova função assusta menos, não é mesmo?

Agora que simplificamos a função, podemos começar a derivar.

Passo 2

Derivar uma função com somas pode assustar. Mas se a gente lembrar que termos somados e subtraídos podem ser olhados separadamente, a nossa vida vai ficar muito mais fácil! Levando isso em conta, a derivada de f t pode ser reescrita como está abaixo.

d f d t = d d t 1 4 t 4 + 2

d f d t = d d t 1 4 t 4 + d d t 2

Sempre que a gente precisar derivar uma função grande cheia de somas e subtrações, podemos derivar cada termo de forma separada e depois juntar tudo para calcular a derivada da função inteira! Vamos calcular a derivada de cada termo separadamente no próximo passo!

Passo 3

Para calcular a derivada de 1 4 t 4 , usaremos a regra do peteleco! Nessa regra, a derivada faz o expoente “cair” e passar a multiplicar o termo. Além disso, o expoente da derivada vira o expoente antigo menos 1 .

No termo 1 4 t 4 , o expoente 4 vai “cair” e passar a multiplicar. O novo expoente será 4 - 1 .

d d x 1 4 t 4 = 1 4 ⋅ 4 ⋅ t 4 - 1 = 1 4 ⋅ 4 ⋅ t 3

1 4 multiplicado por 4 vale 1 . Logo:

d d x 1 4 t 4 = 1 4 ⋅ 4 ⋅ t 3 = 1 ⋅ t 3 = t 3

Agora, vamos calcular a derivada da constante 2 . Para isso, temos que lembra que derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Ou seja, como 2 não varia em relação a t , sua derivada d 2 d t vale 0 .

d 2 d t = 0

Já que temos os valores de cada derivada, podemos juntar todos eles para calcular a derivada total da função f t .

Passo 4

Agora podemos substituir todos esses valores de derivadas na equação da derivada da função d f d t (segunda equação do passo 2).

d f d t = d d t 1 4 t 4 + d d t 2

d f d t = t 3 + 0

d f d t = t 3

Boaaa! Esse é o fim de mais um exercício de derivadas! Estamos voando!

Resposta

t 3

Exercício Resolvido #3

Encontre a segunda derivada da função f x = 2 x - π

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Passo 1

E aí, galera, como estão?

O exerício pede para a gente calcular a segunda derivada da função f x , mas o que isso significa? Significa que temos que derivar a função duas vezes! Ou seja, vamos derivar o resultado da primeira derivação!

Essa segunda derivada pode ser representada por:

d 2 f d x 2

O número 2 indica que essa é a 2 ª derivada.

Vamos começar então derivando a primeira vez. Essa função é composta por dois termos, mas não se assuste! Ao invés de derivar tudo de uma vez podemos derivar primeiro cada termo. Depois podemos juntar essas derivadas individuais e calcular a derivada total da função.

d f d x = d d x 2 x - π

d f d x = d d x 2 x - d d x ( π )

Então vamos calcular essas derivadas de forma separada no próximo passo!

Passo 2

π é uma constante. Como a derivada é uma taxa de variação e constantes não variam, a derivada de π vale zero!

d d x π = 0

Além disso, podemos derivar 2 x usando a regra do peteleco. Essa regra é usada, quando a variável (no caso a variável é o x ) está elevada por um número constante n . Quando derivamos um termo x elevado a uma constante n , o expoente do termo “cai” e passa a multiplicar. Além disso, x passa a ter um novo expoente n - 1 !

No nosso caso, temos que lembrar que a variável x está elevada a 1 ! Ou seja, o expoente n vale 1 .

2 x = 2 x 1

Isso quer dizer que esse termo está elevado a uma constante. Logo, podemos usar a tal regra do peteleco!

d 2 x 1 d x = 2 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = 2 ⋅ 1 ⋅ x 0 = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2

Juntando a derivada dos dois termos, a primeira derivada d f d x vale:

d f d x = d d x 2 x - d d x ( π )

d f d x = 2 - 0 = 2

Vamos deixar para o próximo passo o cálculo da segunda derivada!

Passo 3

Foi falado que, para encontrar a segunda derivada, precisamos derivar a função mais uma vez. Isso quer dizer que precisamos derivar 2 .

d 2 f d x 2 = d d x 2

Como 2 é uma constante, essa derivada é igual a zero!

d 2 f d x 2 = d d x 2 = 0

d 2 f d x 2 = 0

Pronto! Chegamos ao fim de mais uma questão! Palmas pra gente!

Resposta

d 2 f d x 2 = 0

Exercício Resolvido #4

O valor de f ' ' ( 0 ) da função f x = sen ⁡ ( x )   é   d e :

(a) 0,5 .

(b) 1 .

(c) 0 .

(d) 0,4 .

(e) 2 .

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Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer o valor da segunda derivada de f ( x ) . Pra isso, primeiro a gente tem que calcular a primeira derivada, ok?

Vamos lá...

Passo 2

A função é f x = s e n   x . A derivada dela então é:

f ' x = cos ⁡ x

Tranquilo até aqui né?

Essa é a primeira derivada de f ( x ) !

Passo 3

Como a gente quer a segunda derivada, vamos derivar f ' ( x ) então...

f ' ' x = f ' x '

cos ⁡ x ' =   - s e n   x

Show! Segunda derivada encontrada! 😉

Passo 4

A questão pede f ' ' ( 0 ) , então a gente vai na nossa f ' ' ( x ) e substituir o x por 0, beleza?

f ' ' 0 =   - s e n   0 =   0

Prontinho! A alternativa correta então é a letra c ! 😊

Resposta

c) 0 .

Exercício Resolvido #5

Encontre a primeira e segunda derivada da função f x = x 4 - 3 x 3 + 16 x

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Passo 1

Olá! Tudo joinha?

Vamos derivar essa função f ( x ) , beleza? A gente tem um polinômio, então a gente usa a “Regra do Tombo”. Em cada termo daquele, o expoente vai cair pra frente e perder um. Desse jeito aqui:

x n ' = n   x n - 1

Tranquilo? Mãos à obra então!

Passo 2

Bom, outra coisa que a gente tem que lembrar aqui é que a derivada da soma é a soma das derivadas. Então a gente pode derivar cada termo ali usando a Regra do Tombo e manter nossa soma no polinômio!

Vai ficar assim:

f ' x = 4 x 4 - 1 - 3 3 x 3 - 1 + 1 16 x 1 - 1

Já montamos a regra, agora é só resolver essas continhas que ficaram...

Passo 3

Resolvendo ali, ficamos com:

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16 x 0

A gente sabe que todo número elevado a 0 é 1, então isso é o mesmo que:

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16 ( 1 )

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

Prontinho! Essa é a primeira derivada 😄

Passo 4

Agora a gente vai ver a segunda derivada! Vamos fazer da mesma forma, só que agora derivando f ' x !

Aqui a gente só tem que lembrar que derivada de constante é zero! Aí aqui vai ficar:

f ' ' x = f ' x '

= 3 4 x 3 - 1 - 2 9 x 2 - 1 + 0

= 12 x 2 - 18 x 1

= 12 x 2 - 18 x

E essa é a segunda derivada! Acabamos uhull!!

Resposta

f ' x = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

f ' ' x = 12 x 2 - 18 x

Exercício Resolvido #6

Encontre a primeira e segunda derivada da função G x = r + r 3

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Passo 1

Queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da função:

G r =   r   +   r 3 =   r 1 2 +   r 1 3

A primeira derivada será assim:

G ' r = r 1 2       ' + r 1 3   ' =  

= 1 2   r 1 2   - 1   +   1 3   r 1 3   - 1 =  

= 1 2   r - 1 2 +   1 3   r - 2 3

Passo 2

A segunda derivada será a derivada da primeira, assim:

G ' ' r =   1 2 r - 1 2 ' +   1 3 r - 2 3 ' =

=   1 2 - 1 2 r - 1 2   - 1 +   1 3 - 2 3 r - 2 3   - 1 =