Exercícios Resolvidos de Derivadas Numéricas

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Enunciado

As estações de radar A e B , separadas pela distância a = 500   m , rastreiam o avião C registrando os ângulos α e β em intervalos de um segundo. Se três leituras sucessivas forem

calcule a velocidade v do avião e o ângulo de subida γ em t = 10   s . As coordenadas do avião são calculadas como

Passo 1

Para resolvermos o exercício, usaremos os valores de α e β da tabela para calcular as coordenadas x e y do avião, para cada um dos três instantes de tempo 9 ,   10 e 11   s . Com as coordenadas x e y para cada instante de tempo, podemos usar o comando d i f f ( ) do MATLAB para obter, por meio de derivação numérica, as componentes horizontal e vertical da velocidade do avião, dadas por v x = d x / d t e v y = d y / d t , respectivamente.

Com v x e v y em t = 10   s , podemos calcular a velocidade v do avião, dada por:

v = v x 2 + v y 2

Já o ângulo γ é dado pelo arcotangente de v y e v x em t = 10   s :

γ = tan - 1 ⁡ v y v x

Passo 2

Vamos começar inserindo os dados fornecidos pelo enunciado. Em um novo script, entre com a distância a e os dados da tabela:

A primeira linha da tabela, que contém os instantes de tempo, é representada pelo vetor t .

Os ângulos α e β da tabela são armazenados nos vetores a l p h a e b e t a , respectivamente. Os ângulos são convertidos de graus para radianos, por meio da multiplicação por π / 180 . Fazemos a conversão pois calcularemos as tangentes usando o comando t a n do MATLAB, cuja entrada deve ser um ângulo em radianos.

Com os dados do enunciados implementados em nosso script, podemos calcular as coordenadas x e y do avião para cada um dos três instantes de tempo, usando as equações fornecidas pelo enunciado:

Note que, como a l p h a e b e t a são vetores, o resultado de t a n ( a l p h a ) e t a n ( b e t a ) também serão vetores, por isso, para realizarmos a multiplicação e a divisão nas equações das coordenadas do avião, devemos usar . / e . * , para fazer a operação entre cada elemento dos vetores.

A posição em x e em y do avião calculada a cada instante é armazenada nos vetores x e y , respectivamente. Esses vetores têm 3 elementos, representando a posição nos instantes 9 ,   10 e 11   s .

Passo 3

Depois de calcularmos os vetores x e y , podemos determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade do avião por meio de diferenciação numérica, calculando a derivada das posições x e y em relação ao tempo t . Para encontrarmos d x d t e d y d t por diferenciação numérica, temos que gerar três vetores, um representando d x , outro representando d y e outro representando d t . Os vetores d x e d y teriam a diferença das posições x e y de instante de tempo t a outro, respectivamente. Já o vetor d t teria a diferença entre um instante de tempo t e outro.

Estes vetores são gerados por meio da função d i f f ( ) , que tem a estrutura:

Y   =   d i f f ( X ,   n )

Ela calcula n   vezes a diferença entre os elementos adjacentes do vetor X e nos dá o resultado na forma do vetor Y . Como queremos que a diferença seja feita somente uma vez, não precisamos entrar com nenhum valor para n na função d i f f ( ) , pois por padrão o MATLAB adota n = 1 quando a entrada n não é especificada.

Os três vetores são gerados por meio das seguintes linhas de código:

Na primeira linha, é criado o vetor d t , que contém as diferenças entre elementos adjacentes do vetor t . Para criar o vetor d t , a funçao d i f f ( ) faz um elemento de t menos o elemento à esquerda, começando a partir do segundo elemento de t .

Na segunda e na terceira linha, é feita a mesma coisa, mas com os vetores x e y . A variação de x é armazenada no vetor d x e a de y , em d y .

Com os vetores d t , d x e d y criados, podemos calcular d x d t e d y d t por meio das linhas de código:

Com estes comandos, dividimos cada elemento do vetor d x e d y pelo elemento do vetor d t que esteja na mesma posição e os resultados são armazenados nos vetores d x d t e d y d t .

O vetor d x d t representa a derivada da posição x do avião em relação ao tempo, indicando, portanto, a componente horizontal da velocidade do avião. Já o vetor d y d t representa a derivada da posição y do avião em relação ao tempo, indicando a componente vertical da velocidade do avião.

Passo 4

O exercício pede para calcular a velocidade v do avião e o ângulo de subida γ em t = 10   s . As componentes horizontal e vertical da velocidade v em t = 10   s são os primeiros elementos dos vetores d x d t e d y d t , respectivamente. Vamos armazená-los nas variáveis v x e v y , para facilitar o cálculo da resposta do exercício:

Com v x e v y , podemos calcular a velocidade v do avião, dada por:

v = v x 2 + v y 2

Por isso, implemente em seu programa a linha de código:

A velocidade v do avião é obtida ao executar o programa, dada pela variável v , que é igual a:

Passo 5

O ângulo γ é dado pelo arcotangente de v y e v x em t = 10   s :

γ = tan - 1 ⁡ v y v x

Para calcular o arcotangente, usaremos a função a t a n 2 , que retorna o ângulo considerando os quatro quadrantes do círculo trigonométrico. a t a n 2 tem como sintaxe:

P = a t a n 2 ( Y , X )

Onde Y e X são números reais, representando as coordenadas de um ponto no círculo trigonométrico, e P é o ângulo em radianos. a t a n 2 calcula o arcotangente da razão Y / X .

Por isso, inclua em seu programa a linha de código:

Com este comando, eu calculo o arcotangente de v y v x e converto o resultado de radianos para graus, por meio da multiplicação por 180 / π . O ângulode subida do avião é armazenado em g a m m a .

Rodando o programa, temos que g a m m a é igual a:

Resposta

v = 50 , 4181   m / s

γ = 15 , 5248 °