Exercícios Resolvidos de Derivadas Numéricas

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Enunciado

O mecanismo de quatro barras mostrado acima tem as dimensões a = 100   m m , b = 120   m m , c = 150   m m e d = 180   m m . Pode ser mostrado por geometria que a relação entre os ângulos α e β é

Para um dado valor de α , podemos resolver esta equação transcendental para β por algum método de determinação de raízes. Fazendo isso com α   =   0 ° ,   5 ° ,   10 ° ,   .   .   .   ,   30 ° , temos os resultados

Se o elo A B gira com a velocidade angular constante de 25   r a d / s , use diferenciação numérica para tabular a velocidade angular d β / d t do elo B C em relação a α .

Passo 1

O enunciado nos dá uma tabela de β em função de α , o que nos permite calcular d β d α por meio de diferenciação numérica com o comando d i f f ( ) do MATLAB. Contudo, o exercício pede para encontrarmos d β d t para cada valor de α .

Para encontrar d β d t , o enunciado nos informa que d α d t = 25   r a d / s . Com esse dado, podemos obter d β d t a partir de d β d α e d α d t , usando o seguinte raciocínio:

d β d t = d β d α ∙ d α d t = 25 d β d α

Logo, para calcularmos d β d t , primeiramente calculamos d β d α usando o comando d i f f ( ) e, em seguida, multiplicamos o resultado por d α d t . Desta forma, temos d β d t para cada valor de α .

Passo 2

Vamos começar calculando d β d α . Para isto, devemos entrar os valores da tabela do enunciado no MATLAB. Em um script novo, crie dois vetores, um para cada linha da tabela:

O vetor a l p h a contém os valores da primeira linha da tabela, sendo convertidos de graus para radianos, por meio da multiplicação por π 180 . Já o vetor b e t a contém os valores da segunda linha da tabela, que já são dados em radianos.

Depois de criarmos os vetores a l p h a e b e t a , podemos determinar d β d α por diferenciação numérica. Para isto, temos que gerar dois vetores, um representando d β e outro representando d α . O vetor d β teria a diferença de β de um valor de α a outro e o vetor d α teria a diferença entre um valor de α e outro.

Estes vetores são gerados por meio da função d i f f ( ) , que tem a estrutura:

Y   =   d i f f ( X ,   n )

Ela calcula n   vezes a diferença entre os elementos adjacentes do vetor X e nos dá o resultado na forma do vetor Y . Como queremos que a diferença seja feita somente uma vez, não precisamos entrar com nenhum valor para n na função d i f f ( ) , pois por padrão o MATLAB adota n = 1 quando a entrada n não é especificada.

Os dois vetores são gerados por meio das seguintes linhas de código:

Na primeira linha, é criado o vetor d a , que contém as diferenças entre elementos adjacentes do vetor a l p h a , logo, ele representa d α . Para criar o vetor d a , a funçao d i f f ( ) faz um elemento de a l p h a menos o elemento à esquerda, começando a partir do segundo elemento de a l p h a .

Na segunda linha, é feita a mesma coisa, mas com o vetor b e t a . A variação de b e t a é armazenada no vetor d b , que representa d β .

Passo 3

Com os vetores d a e d b criados, podemos calcular d β d α por meio da linha de código:

Com este comando, dividimos cada elemento do vetor d b pelo elemento do vetor d a que esteja na mesma posição e o resultado é armazenado no vetor d b d a .

O vetor d b d a representa d β d α obtida por meio de diferenciação numérica. A partir deste vetor, podemos calcular d β d t usando d α d t = 25   r a d / s .

Passo 4

Para calcular d β d t , multiplicamos o vetor d b d a por d α d t = 25   r a d / s . Por isso, vamos entrar com d α d t no MATLAB e em seguida realizar a multiplicação:

A variável d a d t represente d α d t = 25   r a d / s e na linha seguinte, ela multiplica d b d a para obter d β d t para cada valor de α , o que é armazenado em d b d t .

Os valores de d b d t representam d β d t para cada valor de α a partir de 5 ° , pois acabamos “perdendo” o primeiro elemento do vetor a l p h a ao aplicar o comando d i f f ( ) .

O vetor d b d t é o resultado do exercício:

Resposta