Fasores

Teoria Completa

E aí, beleza? Agora vamos aprender uma coisa que vai nos facilitar muito, muito mesmo, que é o fasor. Mas o que é isso?

Fasor é um número complexo que representa a amplitude ( V m ) e a fase ( ϕ ) de uma senóide. Ou seja, podemos, por exemplo, expressar a tensão v t = V m cos ⁡ ( ω t + ϕ ) simplesmente assim:

V = V m ∠ ϕ

Viu só? Muito mais simples do que aquelas expressões com senos e cossenos.

Mas temos que ter o cuidado com duas coisas: a tensão ou a corrente têm que estar expressas em cosseno e a frequência tem que ser a mesma para todo o circuito, o que geralmente acontece, para podermos usar a representação fasorial.

Por exemplo, vamos escrever a corrente i t = - 5   s e n ( 40 t + 30 ° ) na forma fasorial.

Nosso primeiro passo é expressar a corrente em cosseno. Como

- s e n 40 t + 30 ° = cos ⁡ 40 t + 30 ° + 90 ° = cos ⁡ ( 40 t + 120 ° )

Logo,

i t = 5 cos ⁡ 40 t + 120 °

Então, a forma fasorial de i é

I = 5 ∠ 120 °

Forma retangular, polar e exponencial

Como o fasor é um número complexo, vamos ver as formas de representá-lo. Podemos representar um número complexo z de três maneiras.

  1. Forma retangular:
  2. z = x + j y

    Onde j = - 1 , x é a parte real e y é a parte imaginária de z .

  3. Forma polar:
  4. z = r ∠ ϕ

    Onde r   é o módulo e ϕ é o ângulo de fase.

  5. Forma exponencial:

z = r   e j ϕ

As formas polar e retangular se relacionam como na figura abaixo:

Portanto, sabendo x e y , podemos determinar r e ϕ fazendo

r = x 2 + y 2 ,                                 ϕ = tan - 1 ⁡ y x

Ou, se conhecemos r e ϕ , podemos obter x e y fazendo

x = r cos ⁡ ϕ   ,                     y = r   s e n   ϕ

Essas relações são muito importantes, porque geralmente para operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto que em multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Portanto, dependendo do exercício, vamos precisar transformar o fasor de uma forma para outra e vamos fazer isso utilizando essas relações.

Operações com número complexo

Vamos ver como funcionam as operações em números complexos que mais utilizaremos daqui em diante. Para isso, vamos supor que temos dois números complexos genéricos:

z 1 = x 1 + j y 1 = r 1 ∠ ϕ 1               e                 z 2 = x 2 + j y 2 = r 2 ∠ ϕ 2

Adição:

z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + j ( y 1 + y 2 )

Subtração:

z 1 - z 2 = x 1 - x 2 + j y 1 - y 2

Multiplicação:

z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ϕ 1 + ϕ 2

Divisão:

z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ϕ 1 - ϕ 2

Recíproco:

1 z 1 = 1 r 1 ∠ - ϕ 1

Raiz quadrada:

z 1 = r 1   ∠ ϕ 1 / 2

Conjugado Complexo:

z 1 * = x - j y = r 1 ∠ - ϕ 1 = r 1   e - j ϕ 1  

Para você entender melhor, vamos determinar o número complexo dado pela expressão:

5 ∠ 53,13 ° + 10 + j 3 6 + j 5 *

Transformando 5 53,13 ° para forma retangular:

5 ∠ 53,13 ° = 5 cos ⁡ 53,13 ° + j 5   s e n   53,13 ° = 3 + j 4

Substituindo,

( 3 + j 4 ) + 10 + j 3 6 + j 5 *

Fazendo a adição no numerador e sabendo que 6 + j 5 * é igual a ( 6 - j 5 ) , temos

13 + j 7 6 - j 5

Para efetuar a divisão precisamos passar os números para forma polar:

13 + j 7   → r = 13 2 + 7 2 = 14,76   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 7 13 = 28,3 °

6 - j 5   → r = 6 2 + 5 2 = 7,81   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 5 6 = - 39,8 °

Portanto,

14,76 ∠ 28,3 ° 7,81 ∠ - 39,8 ° = 14,76 7,81 ∠ 28,3 ° - - 39,8 °

1,89 ∠ 68,1 °

Diagrama fasorial

Em alguns exercícios pode ser pedido o diagrama fasorial, mas não é preciso se desesperar. Esse diagrama nada mais é do que a representação gráfica dos fasores.

Por exemplo, vamos fazer o digrama fasorial dos fasores V = 5 ∠ 45 ° e I = 3 ∠ - 30 ° .

Como podemos ver, os fasores são como vetores e por isso são representados por uma letra maiúscula em negrito. Eles apresentam módulo e “direção”, que no caso é o ângulo de fase do fasor.

Além disso, em um mesmo circuito, eles apresentam a mesma frequência angular, ou seja, é como se ambos tivessem a mesma rotação de ω   r a d / s . Por isso, a representação em forma de fasor é dita como a representação no domínio da frequência.

Então a gente tem as seguintes representações:

v t = V m cos ⁡ ω t + ϕ                     ↔                       V = V m ∠ ϕ

                                        D o m í n i o   d o   t e m p o                                       D o m í n i o   d a   f r e q u ê n c i a

Agora é a hora de praticar bastante para fixar o que se aprendeu.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.361, Problema 9.11

Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:

a   v t = 21 cos ⁡ ( 4 t - 15 ° )   V

b   i t = - 8   s e n 10 t + 70 °   m A

c   v t = 120   s e n 10 t - 50 °   V

d   i t = - 60 cos ⁡ 30 t + 10 °   m A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício temos que transformar cada sinal para forma fasorial, aquela com módulo e ângulo. Para isso, temos que lembrar que os sinas têm que estar expressos em cossenos.

Passo 2

Na letra ( a ) , temos v t = 21 cos ⁡ ( 4 t - 15 ° ) . Como podemos ver a tensão já está expressa em cosseno. Então podemos passar para forma fasorial diretamente.

V = 21 ∠ - 15 °   V

Passo 3

Na letra ( b ) , a corrente está expressa em termos de seno: i t = - 8   s e n 10 t + 70 ° . Então, nosso primeiro passo é expressá-la em cosseno.

Como, - s e n 10 t + 70 ° = c o s ( 10 t + 70 ° + 90 ° ) , temos:

i t = 8 cos ⁡ ( 10 t + 160 ° )

Agora é só escrever na forma fasorial.

I = 8 ∠ 160 °   m A

Passo 4

Na letra ( c ) , a tensão também está expressa em termos de seno. Vamos expressá-la em cosseno.

Como, s e n 10 t - 50 ° = cos ⁡ ( 10 t - 50 ° - 90 ° ) , temos:

v t = 120   c o s 10 t - 140 °

Agora é só escrever na forma fasorial.

V = 120 ∠ - 140 °   V

Passo 5

Na letra ( d ) , temos   i t = - 60 cos ⁡ 30 t + 10 ° . Como podemos ver, a corrente já está expressa em cosseno, mas com sinal negativo. Para deixarmos com sinal positivo, basta somarmos ou subtrairmos 180 ° no argumento do cosseno:

i t = 60 cos ⁡ 30 t + 10 ° - 180 ° = cos ⁡ 30 t - 170 °

Agora, podemos passar para forma fasorial diretamente.

I = 60 ∠ - 170 °   m A

Resposta

a   V = 21 ∠ - 15 °   V

b   I = 8 ∠ 160 °   m A

c   V = 120 ∠ - 140 °   V

d   I = 60 ∠ - 170 °   m A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.361, Problema 9.18

Obtenha as senoides correspondentes a cada um dos seguintes fasores:

a   V 1 = 60 ∠ 15 °     V ,     ω = 1

b   V 2 = 6 + j 8     V ,     ω = 40

c   I 1 = 2,8 e - j π / 3   A ,     ω = 377

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na letra ( a ) , o fasor já está na forma polar. Então, podemos obter a expressão no domínio do tempo diretamente. Como ω = 1 ,

v 1 t = 60 cos ⁡ ( t + 15 ° )   V