Impedância

Teoria Completa

No primeiro tópico falamos um pouco sobre impedância, mas focamos mais na reatância. Mais precisamente, focamos no módulo da reatância. Agora, vamos estudar a natureza complexa da impedância.

Circuito Puramente Resistivo

Nós vimos no primeiro tópico que em um circuito puramente resistivo a tensão e corrente estão em fase, ou seja, apresentam o mesmo ângulo de fase.

v t = V m cos ⁡ ( ω t + ϕ )

i t = I m cos ⁡ ω t + ϕ

Desenhando o diagrama fasorial comprovamos que a tensão e a corrente estão em fase.

Utilizando a Lei de Ohm:

V m = R I m       →         R = V m I m

Com o nosso conhecimento de fasor, vamos passar a tensão e a corrente para a forma fasorial:

V = V m ∠ ϕ

I = I m ∠ ϕ

Dividindo a tensão fasorial V pela corrente fasorial I , encontramos a impedância Z que é medida em ohms e chegamos à lei de Ohm para forma fasorial.

Z = V I                 →             V = Z I      

Portanto, para o caso do circuito puramente resistivo, temos:

Z = V I = V m ∠ ϕ I m ∠ ϕ

Logo,

Z = V m I m ∠ 0 ˚ = R ∠ 0 ˚

Portanto, neste caso, a impedância Z só possui parte real e é simplesmente a resistência do circuito.

Circuito Puramente Capacitivo

Agora, vamos fazer a mesma análise para um circuito puramente capacitivo.

No primeiro tópico vimos que no caso puramente capacitivo a tensão e a corrente estão fora de fase por um ângulo de 90 ° . Mais precisamente, a corrente está adiantada 90 °   em relação à tensão.

v t = V m cos ⁡ ( ω t + ϕ )                           i t = I m cos ⁡ ( ω t + ϕ + 90 ° )

Passando a tensão e a corrente para a forma fasorial, teremos:

V = V m ∠ ϕ

I = I m ∠ ϕ + 90 °

Pela lei de Ohm, dividindo a tensão fasorial V pela corrente fasorial I , encontramos a impedância Z . Portanto, para o caso do circuito puramente capacitivo, temos:

Z = V I = V m ∠ ϕ I m ∠ ϕ + 90 °

Logo,

Z = V m I m ∠ ϕ - ϕ + 90 ° = V m I m ∠ - 90 °

Lembrando que no capacitor temos a reatância capacitiva X C e ela tem a seguinte relação:

X C = V m I m = 1 ω C

Substituindo, temos:

Z = X C ∠ - 90 ° = 1 ω C ∠ - 90 °

Como podemos ver, Z é um número complexo e passando para forma retangular temos:

Z = - j X C = - j 1 ω C

Portanto, neste caso, a impedância Z só possui parte imaginária e é negativa.

Está confuso? Calma, vamos fazer um exemplo numérico para não ficar dúvida.

Vamos supor que a tensão v = 6 cos ⁡ ( 120 t - 30 ° ) V é aplicada em um capacitor de 50   µ F e queremos encontrar a corrente que circula pelo capacitor.

Nosso primeiro passo é passar a tensão para forma fasorial:

v = 6 cos ⁡ ( 120 t - 30 ° ) V já está no formato v = V m   c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

V = V m ∠ ∅   V

V = 6 ∠ - 30 °   V

Vimos que no capacitor a impedância Z é:

Z = - j X C = - j 1 ω C

Como ω = 120   r a d / s e C = 50   µ F , temos:

Z = - j 1 120 × 50 × 10 - 6 = - j 166,67   Ω

Como só há parte imaginária negativa, podemos passar rapidamente para forma polar. Como só há componente no eixo imaginário negativo, o ângulo é de - 90 ° . Logo, passando para forma polar:

Z = 166,67 ∠ - 90 °

Agora é só aplicar a lei de Ohm para encontrarmos a corrente.

I = V Z = 6 ∠ - 30 ° 166,67 ∠ - 90 ° = 0,036 ∠ 60 °   A = 36 ∠ 60 °   m A

Para terminar, precisamos voltar para o domínio do tempo,

i t = 36 cos ⁡ 120 t + 60 °   m A

Circuito Puramente Indutivo

Agora, vamos ver como funciona no indutor.

Vimos que nesse caso a corrente é atrasada em relação à tensão por um ângulo de 90 ° .

v t = V m cos ⁡ ( ω t + ϕ )                           i t = I m cos ⁡ ( ω t + ϕ - 90 ° )

Passando a tensão e a corrente para a forma fasorial, temos:

V = V m ∠ ϕ

I = I m ∠ ϕ - 90 °

Pela lei de Ohm, dividindo a tensão fasorial V pela corrente fasorial I , encontramos a impedância Z . Portanto, para esse caso, temos:

Z = V I = V m ∠ ϕ I m ∠ ϕ - 90 °

Logo,

Z = V m I m ∠ ϕ - ϕ - 90 ° = V m I m ∠ 90 °

Lembrando que no indutor temos a reatância indutiva X L e ela tem a seguinte relação:

X L = V m I m = ω L

Substituindo, temos:

Z = X L ∠ 90 ° = ω L ∠ 90 °

Como podemos ver, Z é um número complexo e passando para forma retangular temos:

Z = j X L = j ω L

Portanto, neste caso, a impedância Z só possui parte imaginária e é positiva. Vamos fazer um exemplo numérico também para esse caso.

Vamos supor que a tensão v = 6 cos ⁡ ( 50 t + 30 ° ) é aplicada em um indutor de 0,2   H e queremos encontrar a corrente que circula pelo indutor.

Nosso primeiro passo é passar a tensão para forma fasorial:

v = 6 cos ⁡ ( 50 t + 30 ° ) V já está no formato v = V m   c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

V = V m ∠ ∅   V

V = 6 ∠ 30 °   V

Vimos que no indutor a impedância Z é:

Z = j X L = j ω L

Como ω = 50   r a d / s e L = 0,2   H , temos:

Z = j ( 50 × 0,2 ) = j 10   Ω

Como só há parte imaginária positiva, podemos passar rapidamente para forma polar. Como só há componente no eixo imaginário positivo, o ângulo é de 90 ° . Logo, passando para forma polar:

Z = 10 ∠ 90 °   Ω

Agora é só aplicar a lei de Ohm para encontrarmos a corrente.

I = V Z = 6 ∠ 30 ° 10 ∠ 90 ° = 0,6 ∠ - 60 °   A

Para terminar, precisamos voltar para o domínio do tempo,

i t = 0,6 cos ⁡ 50 t - 60 °   A

É importante a gente saber que apesar da impedância Z ser uma grandeza complexa e ser resultado da divisão de dois fasores, ela NÃO é um fasor, pois ela não é uma grandeza senoidal que varia com o tempo.

Admitância

Além disso, chamamos o inverso da impedância de admitância ( Y ) , medida em siemens ( S ) .

Então, no exemplo anterior, temos que a admitância é:

Y = 1 Z = 1 10 ∠ 90 ° = 0,1 ∠ - 90 °   S

Associação de Impedância

Antes de continuar, tudo o que foi estudado para um elemento separadamente é válido quando os associamos em série ou paralelo. Por exemplo, a impedância de um circuito com um resistor de 3 Ω associado em série com um capacitor que possui uma reatância capacitiva X C de 4   Ω é:

Z = R + - j X C = 3 - j 4

Como podemos ver, a impedância tem uma parte real associada à resistência e uma parte imaginária associada à reatância.

As Leis de Kirchhoff são totalmente válidas para o domínio da frequência. Então, como era de se esperar, a associação de impedâncias funciona da mesma maneira da associação de resistores.

Logo, quando temos impedâncias associadas em série a impedância equivalente é:

Z e q = Z 1 + Z 2 + Z 3 + … + Z N

Já no caso de associação em paralelo:

1 Z e q = 1 Z 1 + 1 Z 2 + 1 Z 3 + … + 1 Z N

A transformação delta-estrela e estrela-delta que conhecemos em circuitos resistivos também é válida para impedâncias. Então, vamos ver como funciona essas transformações utilizando os circuitos Y e superpostos abaixo:

Transformar de Y → ∆ :

Z a = Z 1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 Z 1

Z b = Z 1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 Z 2